Question

如圖，在四棱錐A—BCC₁B₁中，等邊三角形ABC所在平面與正方形BCC₁B₁所在平面互相垂直，D為CC₁的中點(diǎn)．

(1)求證：BD⊥AB₁；
(2)求二面角B—AD—B₁的余弦值．

Answer 1

（1）見解析   （2）

(1)證明　取BC中點(diǎn)O，連接AO，OB₁．
△ABC為正三角形，∴AO⊥BC．
∵平面ABC⊥平面BCC₁B₁，平面ABC∩平面
BCC₁B₁＝BC，AO?平面ABC，
∴AO⊥平面BCC₁B₁，∴AO⊥BD．
∵正方形BCC₁B₁中，O，D分別為BC，CC₁的中點(diǎn)，
∴OB₁⊥BD．又AO∩OB₁＝O，
BD⊥平面AOB₁，∴BD⊥AB₁．

(2)解　取B₁C₁中點(diǎn)E，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O—xyz，不妨設(shè)BC＝2．
由題意知A(0,0，)，B(1,0,0)，D(－1,1,0)，B₁(1,2,0)，則＝(1,0，－)，＝(－2,1,0)，＝(1，－1，)，＝(2,1,0)，
設(shè)n＝(x，y，z)是平面ADB₁的法向量，

則，
即，
可取n＝(－1,2，)，
同理，設(shè)m是平面ABD的法向量，可取m＝(1,2，)，
∴cos〈n，m〉＝＝，
∴二面角B—AD—B₁的余弦值為．