Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，右焦點到直線

x

a

+

y

b

=1的距離d=

21

7

，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A，B兩點，證明點O到直線AB的距離為定值．并求出定值．

Answer 1

分析：（I）由右焦點到直線

x

a

+

y

b

=1的距離d=

21

7

，可得

|bc-ab|

a2+b2

=

21

7

，又e=

c

a

=

1

2

，及a²=b²+c²聯(lián)立即可解出；
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（1）直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系．由OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，把根與系數(shù)的關系代入即可；（2）直線AB斜率不存在時也滿足．

解答：解：（I）由右焦點到直線

x

a

+

y

b

=1的距離d=

21

7

，可得

|bc-ab|

a2+b2

=

21

7

，化為3（a²+b²）=7（bc-ab）²，又e=

c

a

=

1

2

，聯(lián)立得

3(a2+b2)=7(bc-ab)2 a=2c a2=b2+c2

，解得

a2=4 b2=3，c=1

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，聯(lián)立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

消去y得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

．
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
∴

(k2+1)(4m2-12)

3+4k2

-

8k2m2

3+4k2

+m2=0，整理得7m²=12（k²+1），并且滿足△＞0．
所以O到直線AB的距離d=

|m|

k2+1

=

12 7

=

2 21

7

為定值．
（2）直線AB斜率不存在時，聯(lián)立

y=x x2 4 + y2 3 =1

，解得x=±

2 21

7

，點O到直線AB的距離為

2 21

7

為定值．
綜上（1）（2）可知：點O到直線AB的距離為定值

2 21

7

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、向量垂直與數(shù)量積得關系、點到直線的距離公式等基本知識與基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力與計算能力．．