Question

18．已知函數f（x）=ax²+bx-2lnx（a＞0，b∈R），若對任意x＞0都有f（x）≥f（2）成立，則（　　）

• A． lna＞-b-1
• B． lna≥-b-1
• C． lna＜-b-1
• D． lna≤-b-1

Answer 1

分析 由f（x）≥f（2），知x=2是函數f（x）的極值點，所以f′（2）=0，從而得到b=1-4a，作差：lna-（-b-1）=lna+2-4a，所以構造函數g（x）=lnx+2-4x，通過導數可求得g（x）≤g（$\frac{1}{4}$）＜0，即g（x）＜0，所以g（a）＜0，所以lna＜-b-1．

解答 解：f′（x）=2ax+b-$\frac{2}{x}$，
由題意可知，f（x）在x=2處取得最小值，即x=2是f（x）的極值點；
∴f′（2）=0，∴4a+b=1，即b=1-4a；
令g（x）=2-4x+lnx（x＞0），則g′（x）=$\frac{1-4x}{x}$；
∴當0＜x＜$\frac{1}{4}$時，g′（x）＞0，g（x）在（0，$\frac{1}{4}$）上單調遞增；
當x＞$\frac{1}{4}$時，g′（x）＜0，g（x）在（$\frac{1}{4}$，+∞）上單調遞減；
∴g（x）≤g（$\frac{1}{4}$）=1+ln$\frac{1}{4}$=1-ln4＜0；
∴g（a）＜0，即2-4a+lna=lna+b+1＜0；
故lna＜-b-1，
故選：C．

點評 考查最值的概念，極值的定義，函數導數符號和函數單調性的關系，通過構造函數比較兩個式子大小的方法．