【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，是等邊三角形，四邊形ABCD是矩形，，F為棱PA上一點(diǎn)，且，M為AD的中點(diǎn)，四棱錐的體積為．

（1）若，N是PB的中點(diǎn)，求證：平面平面PCD；

（2）在（Ⅰ）的條件，求三棱錐的體積．

【答案】（1）見(jiàn)解析；

（2）.

【解析】

（1）由是AP的中點(diǎn)，證得，又由四邊形是矩形，證得，從而證得面，再由，證得面，最后利用面面平行的判定定理，即可得到平面平面．

（2）連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，證得面，又由是的中點(diǎn)，得到到面的距離等于到面的距離的一半，利用體積公式，即可求解．

（1）因?yàn)?/span>，所以是的中點(diǎn)，又因?yàn)?/span>N是PB的中點(diǎn)，所以，

由四邊形是矩形，得，故，

由，面，所以面

又由，且面，面，所以面，

又因?yàn)?/span>面

根據(jù)面面平行的判定定理，可得平面平面．

（2）連接，由是等邊三角形，得，

又因?yàn)槊?/span>面，面面，面，

所以面

因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以到面的距離等于到面的距離的一半，

設(shè)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，且，．

（1）證明：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某游戲公司對(duì)今年新開(kāi)發(fā)的一些游戲進(jìn)行評(píng)測(cè)，為了了解玩家對(duì)游戲的體驗(yàn)感，研究人員隨機(jī)調(diào)查了300名玩家，對(duì)他們的游戲體驗(yàn)感進(jìn)行測(cè)評(píng)，并將所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示，其中.

（1）求這300名玩家測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)；

（2）由于該公司近年來(lái)生產(chǎn)的游戲體驗(yàn)感較差，公司計(jì)劃聘請(qǐng)3位游戲?qū)＜覍?duì)游戲進(jìn)行初測(cè)，如果3人中有2人或3人認(rèn)為游戲需要改進(jìn)，則公司將回收該款游戲進(jìn)行改進(jìn)；若3人中僅1人認(rèn)為游戲需要改進(jìn)，則公司將另外聘請(qǐng)2位專(zhuān)家二測(cè)，二測(cè)時(shí)，2人中至少有1人認(rèn)為游戲需要改進(jìn)的話，公司則將對(duì)該款游戲進(jìn)行回收改進(jìn).已知該公司每款游戲被每位專(zhuān)家認(rèn)為需要改進(jìn)的概率為，且每款游戲之間改進(jìn)與否相互獨(dú)立.

（i）對(duì)該公司的任意一款游戲進(jìn)行檢測(cè)，求該款游戲需要改進(jìn)的概率；

（ii）每款游戲聘請(qǐng)專(zhuān)家測(cè)試的費(fèi)用均為300元/人，今年所有游戲的研發(fā)總費(fèi)用為50萬(wàn)元，現(xiàn)對(duì)該公司今年研發(fā)的600款游戲都進(jìn)行檢測(cè)，假設(shè)公司的預(yù)算為110萬(wàn)元，判斷這600款游戲所需的最高費(fèi)用是否超過(guò)預(yù)算，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】東海水晶制品廠去年的年產(chǎn)量為10萬(wàn)件,每件水晶產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格為100元，固定成本為80元.從今年起,工廠投入100萬(wàn)元科技成本,并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬(wàn)元科技成本.預(yù)計(jì)產(chǎn)量每年遞增1萬(wàn)件,每件水晶產(chǎn)品的固定成本與科技成本的投入次數(shù)的關(guān)系是=.若水晶產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格不變,第次投入后的年利潤(rùn)為萬(wàn)元.①求出的表達(dá)式；②問(wèn)從今年算起第幾年利潤(rùn)最高？最高利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】己知橢圓上任意一點(diǎn)到其兩個(gè)焦點(diǎn)，的距離之和等于，焦距為2c，圓，，是橢圓的左、右頂點(diǎn)，AB是圓O的任意一條直徑，四邊形面積的最大值為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖，若直線與圓O相切，且與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，直線與平行且與橢圓相切于P（O，P兩點(diǎn)位于的同側(cè)），求直線，距離d的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）設(shè)，曲線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，求的最小值；

（Ⅱ）若只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線距離小

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，它們與（Ⅰ）中軌跡分別交于點(diǎn)及點(diǎn)，且分別是線段的中點(diǎn)，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會(huì)產(chǎn)生一些次品，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，其次品率與日產(chǎn)量（萬(wàn)件）之間滿足關(guān)系：（）已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的儀器可以盈利2萬(wàn)元，但每生產(chǎn)1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量.（注：次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量）

（1）試將生產(chǎn)這種儀器元件每天的盈利額（萬(wàn)元）表示為日產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)；

（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)E在橢圓上，以E為圓心的圓與x軸相切于橢圓C的右焦點(diǎn)，與y軸相交于A，B兩點(diǎn)，且是邊長(zhǎng)為2的正三角形．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知圓，設(shè)圓O上任意一點(diǎn)P處的切線交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出的值；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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