函數(shù)f（x）=-x3+3x2，設g（x）=6lnx-f′（x）（其中f′（x）為f（x）的導函數(shù)），若曲線y=g（x）在不同兩點A（x1，g（x1））、B（x2，g（x2））處的切線互相平行，且
g(x1)+g(x2)x1+x2
≥m恒成立，求實數(shù)m的最大值．
分析：根據(jù)曲線y=g（x）在不同兩點A（x1，g（x1））、B（x2，g（x2））處的切線互相平行得到有g′（x1）=g′（x2）且x1≠x2，可求出x1x2的值，然后利用函數(shù)的單調性研究
g(x1)+g(x2)
x1+x2
的最小值，從而可求出m的取值范圍，求出所求．
解答：解：∵f′（x）=-3x2+6x，∴g（x）=6lnx-f′（x）=6lnx+3x2-6x
∴g′（x）=
6
x
+6x-6
依題意有g′（x1）=g′（x2）且x1≠x2，
即
6
x1
+6x1-6=
6
x2
+6x2-6
∴x1x2=1
∴
g(x1)+g(x2)
x1+x2
=
6ln(x1x2)+3
(x
2
1
+x
2
2
)-6(x1+x2)
x1+x2
=
3
(x
 
1
+x
 
2
)2-6(x1+x2)-6
x1+x2

=3（x1+x2）-
6
x1+x2
-6
令x1+x2=t，則t＞2，∵φ（t）=3t-
6
t
-6在（2，+∞）上單調遞增
∴φ（t）＞φ（2）=-3
∴
g(x1)+g(x2)
x1+x2
＞-3
∴m≤-3
∴實數(shù)m的最大值為-3．
點評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及利用函數(shù)的單調性求函數(shù)的最值，同時考查了計算能力和轉化的思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2+bx+c在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，函數(shù)f（x）在R上有三個零點．
（1）求b的值；
（2）若1是其中一個零點，求f（2）的取值范圍；
（3）若a=1，g（x）=f′（x）+3x2+lnx，試問過點（2，5）可作多少條直線與曲線y=g（x）相切？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2007•東城區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，曲線y=f（x）在點x=1處的切線l不過第四象限且斜率為3，又坐標原點到切線l的距離為
10
10
，若x=
2
3
時，y=f（x）有極值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•寧波模擬）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2-a2x+2，a∈R．
（1）若a＜0時，試求函數(shù)y=f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）若a=0，且曲線y=f（x）在點A、B（A、B不重合）處切線的交點位于直線x=2上，證明：A、B 兩點的橫坐標之和小于4；
（3）如果對于一切x1、x2、x3∈[0，1]，總存在以f（x1）、f（x2）、f（x3）為三邊長的三角形，試求正實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=x3-3ax+b（a≠0），已知曲線y=f（x）在點（2，f（x））處在直線y=8相切．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間與極值點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x）=x3+ax2-x+1的極值情況，4位同學有下列說法：甲：該函數(shù)必有2個極值；乙：該函數(shù)的極大值必大于1；丙：該函數(shù)的極小值必小于1；�。悍匠蘤（x）=0一定有三個不等的實數(shù)根． 這四種說法中，正確的個數(shù)是（　�。�

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