【題目】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=-1.其中>0且≠1.
(1)求f(2)+f(-2)的值;
(2)求f(x)的解析式;
(3)解關(guān)于x的不等式-1<f(x-1)<4.
【答案】(1)0;(2);(3)見解析
【解析】
(1)由函數(shù)是奇函數(shù),即可求得的值;
(2)設(shè),則,求得,根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù),即可化簡求得函數(shù)的解析式;
(3)分類討論,得出不等式組,利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),即可求解.
(1)∵f(x)是奇函數(shù),
∴f(-2)=-f(2),即f(2)+f(-2)=0.
(2)當(dāng)x<0時,-x>0,
∴f(-x)=a-x-1.
由f(x)是奇函數(shù),有f(-x)=-f(x),
∵f(-x)=a-x-1,
∴f(x)=-a-x+1(x<0).
∴所求的解析式為f(x)= .
(3)不等式等價于 或,
即或.
當(dāng)a>1時,有 或,
注意此時loga2>0,loga5>0,可得此時不等式的解集為(1-loga2,1+loga5).
同理可得,當(dāng)0<a<1時,不等式的解集為R.
綜上所述,當(dāng)a>1時,不等式的解集為(1-loga2,1+loga5);
當(dāng)0<a<1時,不等式的解集為 .
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求在區(qū)間上的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ).
令,得.
與的情況如上:
所以,的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是.
(Ⅱ)當(dāng),即時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以在區(qū)間上的最小值為.
當(dāng),即時,
由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以在區(qū)間上的最小值為.
當(dāng),即時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,
所以在區(qū)間上的最小值為.
綜上,當(dāng)時,的最小值為;
當(dāng)時,的最小值為;
當(dāng)時,的最小值為.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知拋物線的頂點在原點,焦點在坐標(biāo)軸上,點為拋物線上一點.
(1)求的方程;
(2)若點在上,過作的兩弦與,若,求證: 直線過定點.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求的最大值;
(2)當(dāng)時,函數(shù)有最小值. 記的最小值為,求函數(shù)的值域.
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【題目】如圖,在多面體中,底面為正方形,四邊形是矩形,平面平面.
(1)求證:平面平面;
(2)若過直線的一個平面與線段和分別相交于點和 (點與點均不重合),求證: ;
(3)判斷線段上是否存在一點,使得平面平面?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知橢圓的一個焦點為,離心率為.點為圓上任意一點, 為坐標(biāo)原點.
(1)求橢圓的標(biāo)準方程;
(2)設(shè)直線經(jīng)過點且與橢圓相切, 與圓相交于另一點,點關(guān)于原點的對稱點為,證明:直線與橢圓相切.
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【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)上橫坐標(biāo)為4的點到焦點的距離為5.
(1)求拋物線C的方程;
(2)設(shè)直線y=kx+b與拋物線C交于A(x1 , y1),B(x2 , y2),且|y1﹣y2|=2,過弦AB中點M作平行于x軸的直線交拋物線于點D,求△ABD的面積.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+(b﹣1)x+1(a,b∈R,a>0).
(1)若f(1)=0,且對任意x∈R,都有f(2﹣x)=f(2+x),求f(x)的解析式;
(2)已知x1 , x2為函數(shù)f(x)的兩個零點,且x2﹣x1=2,當(dāng)x∈(x1 , x2)時,g(x)=﹣f(x)+2(x2﹣x)的最大值為,當(dāng)a≥2時,求h(a)的最小值.
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【題目】已知橢圓的左右焦點分別為,上頂點為,若直線的斜率為1,且與橢圓的另一個交點為, 的周長為.
(1)求橢圓的標(biāo)準方程;
(2)過點的直線(直線的斜率不為1)與橢圓交于兩點,點在點的上方,若,求直線的斜率.
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【題目】一網(wǎng)站營銷部為統(tǒng)計某市網(wǎng)友2017年12月12日在某網(wǎng)店的網(wǎng)購情況,隨機抽查了該市60名網(wǎng)友在該網(wǎng)店的網(wǎng)購金額情況,如下表:
若將當(dāng)日網(wǎng)購金額不小于2千元的網(wǎng)友稱為“網(wǎng)購達人”,網(wǎng)購金額小于2千元的網(wǎng)友稱為“網(wǎng)購探者”.已知“網(wǎng)購達人”與“網(wǎng)購探者”人數(shù)的比例為2:3.
(1)確定的值,并補全頻率分布直方圖;
(2)試根據(jù)頻率分布直方圖估算這60名網(wǎng)友當(dāng)日在該網(wǎng)店網(wǎng)購金額的平均數(shù)和中位數(shù);若平均數(shù)和中位數(shù)至少有一個不低于2千元,則該網(wǎng)店當(dāng)日被評為“皇冠店”,試判斷該網(wǎng)店當(dāng)日能否被評為“皇冠店”.
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