【題目】已知橢圓的長軸長為6,離心率為 ,F(xiàn)2為橢圓的右焦點.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)點M在圓x2+y2=8上,且M在第一象限,過M作圓x2+y2=8的切線交橢圓于P,Q兩點,判斷△PF2Q的周長是否為定值并說明理由.

【答案】解:(I)根據(jù)已知,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 , ∴2a=6,a=3, ,c=1;
b2=a2﹣c2=8,

(II)△PF2Q的周長是定值,
設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),則 ,
,
∵0<x1<3,

在圓中,M是切點,
,
,
同理|QF2|+|QM|=3,
∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6,
因此△PF2Q的周長是定值6
【解析】(Ⅰ)由題意可知:2a=6, ,求得a和c的值,由b2=a2﹣c2 , 求得b,寫出橢圓方程;(Ⅱ)設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),分別求出|F2P|,|F2Q|,結(jié)合相切的條件可得|PM|2=|OP|2﹣|OM|2 , 可得 ,同理|QF2|+|QM|=3,即可證明;

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A.
B.
C.
D.

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P4(x,y)∈D,x2+y2≤2.
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C.P2 , P4
D.P3 , P4

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