設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)于x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0時(shí),f(x)<0,f(1)=-2.
(1)說明函數(shù)f(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)?
(2)探究f(x)在[-3,3]上是否有最值?若有,請(qǐng)求出最值,若沒有,說明理由;
(3)若f(x)的定義域是[-2,2],解不等式:f(log2x)+f(log4x-4)<2
分析:(1)在恒等式中,用賦值法,可得f(0)的值,再令y=-x,變形可得f(x)+f(-x)=f(0),即可判斷出函數(shù)的奇偶性;
(2)設(shè)x1、x2∈R,且x1<x2,結(jié)合(1)的結(jié)論,應(yīng)用單調(diào)性的定義可得f(x)為減函數(shù),即可得f(x)在[-3,3]上的最大值與最小值分別為f(3)、f(-3),借助f(x+y)=f(x)+f(y)與f(1)的值,即可求得得f(3)、f(-3)的值,從而得到f(x)在[-3,3]上的最值;
(3)利用恒等式將不等式變形為f(-log2x)<f(-1),再應(yīng)用(2)中得到的函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”,列出關(guān)于x的不等式組,求解即可得到不等式的解集.
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)對(duì)于x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),
∴令y=x=0,則有f(0)=0,
令y=-x,則有f(x)+f(-x)=f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函數(shù);    
(2)設(shè)x1<x2,則x2-x1>0,
∵x>0時(shí),f(x)<0,
∴f(x2-x1)<0,
∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)<f(x1),
∴f(x)在R上是減函數(shù),則在[-3,3]上也是減函數(shù),
∴f(x)當(dāng)x=-3時(shí)有最大值f(-3),當(dāng)x=3時(shí)有最小值f(3),
∵f(1)=-2,
∴f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,
∴f(-3)=-f(3)=6
∴當(dāng)x=-3時(shí),f(x)有最大值6,當(dāng)x=3時(shí),f(x)有最小值-6.
(3)∵f(1)=-2,且f(x)是奇函數(shù),
∴f(-1)=-f(1)=2,
根據(jù)f(x+y)=f(x)+f(y),則f(log2x)+f(log4x-4)=f(log2x+log22x-4)=f(log2x+log2x-2)=f(log2x-1),且2=f(-1),
∴不等式f(log2x)+f(log4x-4)<2轉(zhuǎn)化為f(-log2x)<f(-1),
由(2)可知,f(x)在[-2,2]上是單調(diào)減函數(shù),
-2≤log2x≤2
-2≤log2x-2≤2
-log2x>-1
,解得,
1
2
≤x≤2
,
∴不等式f(log2x)+f(log4x-4)<2的解集為[
1
2
,2)
點(diǎn)評(píng):本題考查的是抽象函數(shù)及其應(yīng)用,涉及到了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的證明和利用函數(shù)的單調(diào)性求最值,對(duì)于函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的證明一般選用定義法.本題的難點(diǎn)在于根據(jù)f(x+y)=f(x)+f(y),運(yùn)用特殊值法,分析得到函數(shù)f(x)的性質(zhì)以及函數(shù)值.屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1.
(1)若對(duì)一切實(shí)數(shù)x,f(x)<0恒成立,求m的取值范圍;
(2)對(duì)于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)于x、y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x<0時(shí),f(x)<0,f(-1)=-2.
(1)求證:函數(shù)f(x)是奇函數(shù);
(2)試問f(x)在x∈[-4,4]上是否有最值?若有,求出最值;若無,說明理由.
(3)解關(guān)于x的不等式
1
2
f(bx2)-f(x)>
1
2
f(b2x)-f(b)
(b≤0).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:徐州模擬 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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