【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn),離心率等于.
(1)求橢圓的方程;
(2)過橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),若,,求證:為定值.
【答案】(1)(2)見證明
【解析】
(1)根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)位置及拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)出其方程,利用頂點(diǎn)和離心率確定其中的參數(shù),即可求解其標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)寫出橢圓的右焦點(diǎn),然后,設(shè)出直線的方程和點(diǎn)的坐標(biāo),聯(lián)立方程組,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算,即可求解.
(1)設(shè)橢圓的方程為,則由題意知
∴.即∴
∴橢圓的方程為
(2)設(shè)、、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,.
又易知點(diǎn)的坐標(biāo)為
顯然直線存在的斜率,設(shè)直線的斜率為,則直線的方程是
將直線的方程代入到橢圓的方程中,消去并整理得
,∴,
∵,
∴將各點(diǎn)坐標(biāo)代入得,
∴
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】市面上有某品牌型和型兩種節(jié)能燈,假定型節(jié)能燈使用壽命都超過5000小時(shí),經(jīng)銷商對(duì)型節(jié)能燈使用壽命進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì),得到如下頻率分布直方圖:
某商家因原店面需要重新裝修,需租賃一家新店面進(jìn)行周轉(zhuǎn),合約期一年.新店面需安裝該品牌節(jié)能燈5支(同種型號(hào))即可正常營業(yè).經(jīng)了解,型20瓦和型55瓦的兩種節(jié)能燈照明效果相當(dāng),都適合安裝.已知型和型節(jié)能燈每支的價(jià)格分別為120元、25元,當(dāng)?shù)厣虡I(yè)電價(jià)為0.75元/千瓦時(shí),假定該店面正常營業(yè)一年的照明時(shí)間為3600小時(shí),若正常營業(yè)期間燈壞了立即購買同型燈更換.(用頻率估計(jì)概率)
(1)若該商家新店面全部安裝了型節(jié)能燈,求一年內(nèi)恰好更換了2支燈的概率;
(2)若只考慮燈的成本和消耗電費(fèi),你認(rèn)為該商家應(yīng)選擇哪種型號(hào)的節(jié)能燈,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓與直線相切,圓心在軸上,且直線被圓截得的弦長為.
(1)求圓的方程;
(2)過點(diǎn)作斜率為的直線與圓交于兩點(diǎn),若直線與的斜率乘積為,且,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,,,,且平面⊥平面.
(1)求三棱柱的體積.
(2)點(diǎn)在棱上,且與平面所成角的余弦值為(),求的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足是數(shù)列的前項(xiàng)的和.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若成等差數(shù)列,,18,成等比數(shù)列,求正整數(shù)的值;
(3)是否存在,使得為數(shù)列中的項(xiàng)?若存在,求出所有滿足條件的的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè),且,若在上至少存在一點(diǎn),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)求證:對(duì)任意的正整數(shù),都有成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列中,、是給定的非零整數(shù),.
(1)若,,求;
(2)證明:從中一定可以選取無窮多項(xiàng)組成兩個(gè)不同的常數(shù)項(xiàng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)命題:函數(shù)的定義域?yàn)?/span>;命題:關(guān)于的方程有實(shí)根.
(1)如果是真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)如果命題“”為真命題,且“”為假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與一定范圍內(nèi)的溫度x有關(guān), 現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表:
溫度x/C | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè) | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
經(jīng)計(jì)算得: , , , ,
,線性回歸模型的殘差平方和,e8.0605≈3167,其中xi, yi分別為觀測(cè)數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù),i=1, 2, 3, 4, 5, 6.
(Ⅰ)若用線性回歸模型,求y關(guān)于x的回歸方程=x+(精確到0.1);
(Ⅱ)若用非線性回歸模型求得y關(guān)于x的回歸方程為=0.06e0.2303x,且相關(guān)指數(shù)R2=0.9522.
( i )試與(Ⅰ)中的回歸模型相比,用R2說明哪種模型的擬合效果更好.
( ii )用擬合效果好的模型預(yù)測(cè)溫度為35C時(shí)該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)(結(jié)果取整數(shù)).
附:一組數(shù)據(jù)(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn ), 其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計(jì)為
=;相關(guān)指數(shù)R2=.
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