Question

（2012•上海）某環(huán)線地鐵按內、外環(huán)線同時運行，內、外環(huán)線的長均為30千米（忽略內、外環(huán)線長度差異）．
（1）當9列列車同時在內環(huán)線上運行時，要使內環(huán)線乘客最長候車時間為10分鐘，求內環(huán)線列車的最小平均速度；
（2）新調整的方案要求內環(huán)線列車平均速度為25千米/小時，外環(huán)線列車平均速度為30千米/小時．現(xiàn)內、外環(huán)線共有18列列車全部投入運行，要使內外環(huán)線乘客的最長候車時間之差不超過1分鐘，向內、外環(huán)線應各投入幾列列車運行？

Answer 1

分析：（1）設內環(huán)線列車的平均速度為v千米/小時，根據(jù)內環(huán)線乘客最長候車時間為10分鐘，可得

30

9v

×60≤10，從而可求內環(huán)線列車的最小平均速度；
（2）設內環(huán)線投入x列列車運行，則外環(huán)線投入（18-x）列列車運行，分別求出內、外環(huán)線乘客最長候車時間t1=

30

25x

×60=

72

x

，t2=

30

30(18-x)

×60=

60

18-x

，根據(jù)|t1-t2|=|

72

x

-

60

18-x

|≤1，解不等式，即可求得結論．

解答：解：（1）設內環(huán)線列車的平均速度為v千米/小時，則要使內環(huán)線乘客最長候車時間為10分鐘，可得

30

9v

×60≤10
∴v≥20
∴要使內環(huán)線乘客最長候車時間為10分鐘，內環(huán)線列車的最小平均速度是20千米/小時；
（2）設內環(huán)線投入x列列車運行，則外環(huán)線投入（18-x）列列車運行，內、外環(huán)線乘客最長候車時間分別為t₁，t₂分鐘，
則t1=

30

25x

×60=

72

x

，t2=

30

30(18-x)

×60=

60

18-x

∴|t1-t2|=|

72

x

-

60

18-x

|≤1
∴

x2-150x+1296≤0 x2+114x-1296≤0

∴

150- 17316

2

≤x≤

-114+ 18180

2

∵x∈N₊，∴x=10
∴當內環(huán)線投入10列列車運行，外環(huán)線投入8列列車時，內外環(huán)線乘客的最長候車時間之差不超過1分鐘．

點評：本題考查函數(shù)模型的構建，考查利用數(shù)學模型解決實際問題，解題的關鍵是正確求出乘客最長候車時間．