【題目】已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,離心率為 ,且橢圓E上一點到兩個焦點距離之和為4;l1 , l2是過點P(0,2)且互相垂直的兩條直線,l1交E于A,B兩點,l2交E交C,D兩點,AB,CD的中點分別為M,N.
(1)求橢圓E的方程;
(2)求l1的斜率k的取值范圍;
(3)求 的取值范圍.
【答案】
(1)解:設(shè)橢圓方程為 ,
由
∴橢圓方程為 ;
(2)解:由題意知,直線l1的斜率存在且不為零
∵ ,∴ .
由 消去y并化簡整理,
得(3+4k2)x2+16kx+4=0
根據(jù)題意,△=(16k)2﹣16(3+4k2)>0,解得 .
同理得 ,
∴ ;
(3)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)
那么 ,∴ ,∴
同理得 ,即
∴
∵ ,∴
∴
即 的取值范圍是
【解析】(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)離心率求得a和c關(guān)系,進而根據(jù)a求得b,則橢圓的方程可得.(2)由題意知,直線l1的斜率存在且不為零設(shè)直線l1和l2的方程,分別于橢圓方程聯(lián)立消去y,根據(jù)判別式求得k的范圍,最后綜合可得答案.(3)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),M(x0 , y0),根據(jù)韋達定理求得x0和y0的表達式,進而表示M和N的坐標(biāo),最后表示出 根據(jù)k的范圍確定答案.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的值;
(2)已知在定義域上為減函數(shù),若對任意的,不等式為常數(shù))恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校團委組織了“文明出行,愛我中華”的知識競賽,從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,將其成績(單位:分)整理后,得到如下頻率分布直方圖(其中分組區(qū)間為,,…,).
(1)求成績在的頻率,并補全此頻率分布直方圖;
(2)求這次考試平均分的估計值;
(3)若從成績在和的學(xué)生中任選兩人,求他們的成績在同一分組區(qū)間的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若點P是直線2x+y+10=0上的動點,直線PA、PB分別與圓x2+y2=4相切于A、B兩點,則四邊形PAOB(O為坐標(biāo)原點)面積的最小值為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,g(x)=f(x)+m,若函數(shù)g(x)恰有三個不同零點,則實數(shù)m的取值范圍為( )
A.(1,10)
B.(﹣10,﹣1)
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合A={x|x2+2x﹣3<0},集合B={x||x+a|<1}.
(1)若a=3,求A∪B;
(2)設(shè)命題p:x∈A,命題q:x∈B,若p是q成立的必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在等比數(shù)列{an}中,a1=1,且a2是a1與a3﹣1的等差中項.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足 .求數(shù)列{bn}的前n項和 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sinωxcosωx+ cos2ωx﹣ (ω>0),直線x=x1 , x=x2是y=f(x)圖象的任意兩條對稱軸,且|x1﹣x2|的最小值為 .
(1)求f(x)的表達式;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移 個單位后,再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若關(guān)于x的方程g(x)+k=0,在區(qū)間 上有且只有一個實數(shù)解,求實數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為保護河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時設(shè)立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80 m.經(jīng)測量,點A位于點O正北方向60 m處,點C位于點O正東方向170 m處(OC為河岸),tan∠BCO=.
(1)求新橋BC的長;
(2)當(dāng)OM多長時,圓形保護區(qū)的面積最大?
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