Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）若在區(qū)間，上的最小值為1，求的值；

（Ⅱ）若“，使”為假命題，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)的極值即最值,由題意知, 函數(shù)的最小值只能在或處取得,分別解方程求解即可.

（Ⅱ）若“，使”為假命題，等價于，為真命題,即，恒成立,通過分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法,令,結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,由零點存在性定理求出函數(shù)的最小值,進而求出實數(shù)的取值范圍即可.

（Ⅰ）由題意知,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，

所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時有極大值即最大值，

即有的最小值只能在或處取得．

若（1）,解得,此時與函數(shù)最小值為1相矛盾，

故不符合題意；

若（e），解得，此時符合題意；

綜上可知；

（Ⅱ）若“，使”為假命題，

即，為真命題，

等價于，可得恒成立,

化簡可得，恒成立，

令,則，

令，則在上單調(diào)遞增，

因為,，

由零點存在性定理知,函數(shù)在，存在唯一零點，

即有，則，

兩邊同時取以為底的對數(shù)可得，，

所以當(dāng)時，，即，單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，即，單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時,函數(shù)有極小值即最小值,

，

所以實數(shù)的取值范圍為．