【題目】已知橢圓C:的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為,點(diǎn)P在橢圓C上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點(diǎn)M (4,0),點(diǎn)N(0,n),若以PM為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)線段PN的中點(diǎn),求n的取值范圍.

【答案】(1) ； (2) .

【解析】

（1）根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)和離心率求出標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）取PN的中點(diǎn)為Q，以PM為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)線段PN的中點(diǎn)，所以MQ⊥NP,根據(jù)垂直關(guān)系建立等量關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)P的坐標(biāo)取值范圍，即可得解.

解:( 1)由橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=4,得a=2

又離心率,所以

所以.

所以橢圓C的方程為：.

(2)法一:設(shè)點(diǎn),則

所以PN的中點(diǎn)

,，

因?yàn)橐?/span>PM為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)線段PN的中點(diǎn)

所以MQ⊥NP,則，

即，

又因?yàn)?/span>,所以，

所以，

函數(shù)的值域?yàn)?/span>

所以

所以.

法二:設(shè)點(diǎn),則.

設(shè)PN的中點(diǎn)為Q

因?yàn)橐?/span>PM為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)線段PN的中點(diǎn)

所以MQ是線段PN的垂直平分線，

所以

即

所以，

函數(shù)的值域?yàn)?/span>

所以，

所以.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖.

觀察散點(diǎn)圖，兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)考慮用反比例函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合.已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為，與的相關(guān)系數(shù).參考數(shù)據(jù)（其中）：

（1）用反比例函數(shù)模型求關(guān)于的回歸方程；

（2）用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個(gè)模型哪一個(gè)擬合效果更好（精確到0.01），并用其估計(jì)產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本；

（3）該企業(yè)采取訂單生產(chǎn)模式（根據(jù)訂單數(shù)量進(jìn)行生產(chǎn)，即產(chǎn)品全部售出）.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研數(shù)據(jù)，若該產(chǎn)品單價(jià)定為100元，則簽訂9千件訂單的概率為0.8，簽訂10千件訂單的概率為0.2；若單價(jià)定為90元，則簽訂10千件訂單的概率為0.3，簽訂11千件訂單的概率為0.7.已知每件產(chǎn)品的原料成本為10元，根據(jù)（2）的結(jié)果，企業(yè)要想獲得更高利潤(rùn)，產(chǎn)品單價(jià)應(yīng)選擇100元還是90元，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，，相關(guān)系數(shù).

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（2）若不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）對(duì)于任意滿足的自變量，，，，，，如果存在一個(gè)常數(shù)，使得定義在區(qū)間上的一個(gè)函數(shù)，有恒成立，則稱為區(qū)間上的有界變差函數(shù)，試判斷是否區(qū)間上的有界變差函數(shù)，若是，求出的最小值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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（1）請(qǐng)問(wèn)：對(duì)于完全不會(huì)的題目，小強(qiáng)應(yīng)該隨機(jī)從4個(gè)選項(xiàng)中選一個(gè)作答，還是選擇放棄？（利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)說(shuō)明理由）

（2）若小強(qiáng)有12道題目會(huì)做，剩下的題目中，可以排除一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)、可以排除兩個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)和完全不會(huì)的題目的數(shù)量比是.請(qǐng)問(wèn)：小強(qiáng)在本次活動(dòng)中可以獲得最多紅星數(shù)的期望是多少？

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（Ⅰ）求a的取值范圍；

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