Question

【題目】(1)求與橢圓有公共焦點(diǎn)，并且離心率為的雙曲線方程．

(2)已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長．

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根據(jù)題意，求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，分析可得要求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且c=，設(shè)其方程為﹣=1，由離心率公式求出a的值，由雙曲線的幾何性質(zhì)計(jì)算可得b的值，將a、b的值代入雙曲線方程即可得答案；（2）設(shè)出A、B的坐標(biāo)，由橢圓方程求出橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到A、B所在直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得A、B橫坐標(biāo)的和與積，代入弦長公式求弦AB的長．

(1)由橢圓方程為，知長半軸長，短半軸長，

焦距的一半，

∴焦點(diǎn)是，，因此雙曲線的焦點(diǎn)也是，，

設(shè)雙曲線方程為，由題設(shè)條件及雙曲線的性質(zhì)，得，解得，故所求雙曲線的方程為.

(2)設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為、．

由橢圓的方程知，，，∴．

直線l的方程為① 將①代入，化簡整理得

，∴，，

∴.