Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=1﹣ 為定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）若f（lnm）+f（2lnn）≤1﹣3lnm，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：（法一）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，

所以 在R上恒成立．

所以 （a﹣2b）（2x+2﹣x）+2ab﹣2b2﹣2=0恒成立．

所以 ，解得 或

由定義域?yàn)镽舍去 ，

所以 ．

（法二）函數(shù)的定義域?yàn)镽，且f（x）是奇函數(shù)，

當(dāng)x=0時(shí)，得 ，得a=b+1，

當(dāng)x=1時(shí)，f（1）+f（﹣1）=0，得 ，

解得： ，

此時(shí) 為奇函數(shù)；

所以 ．

（2）解：函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)．

證明：設(shè)x1，x2是R上的任意兩個(gè)值，且x1＜x2，

則

=

因?yàn)閤1＜x2，又g（x）=2x為R上的單調(diào)增函數(shù)，所以 ，

所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

所以函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)．

（3）解：因?yàn)閒（lnm）+f（2lnm﹣1）≤1﹣3lnm，即f（lnm）+lnm≤﹣f（2lnm﹣1）+1﹣2lnm

而函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，

所以f（lnm）+lnm≤f（1﹣2lnm）+1﹣2lnm．

令h（x）=f（x）+x，下面證明h（x）在R上的單調(diào)性：（只要說(shuō)出h（x）的單調(diào)性不扣分）

設(shè)x1，x2是R上的任意兩個(gè)值，且x1＜x2，

因?yàn)閤1﹣x2＜0，由（2）知f（x1）﹣f（x2）＜0，

所以h（x1）﹣h（x2）=f（x1）+x1﹣（f（x2）+x2）

=f（x1）﹣f（x2）+（x1﹣x2）＜0，

即h（x1）＜h（x2），所以h（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)．

因?yàn)閒（lnm）+lnm≤f（1﹣2lnm）+1﹣2lnm，

所以h（lnm）≤h（1﹣2lnm）所以lnm≤1﹣2lnm，

解得 ，所以實(shí)數(shù)m的范圍是 ．

【解析】（1）法一：由奇函數(shù)的性質(zhì)：f（x）+f（﹣x）=0列出方程，化簡(jiǎn)后列出方程組求出a、b的值，結(jié)合條件求出f（x）的解析式；

法二：由奇函數(shù)的性質(zhì)：f（x）+f（﹣x）=0取特值后，列出方程組求出a、b的值，即可求出f（x）的解析式；（2）先判斷出f（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性的定義：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論進(jìn)行證明；（3）由奇函數(shù)的性質(zhì)先化簡(jiǎn)不等式，構(gòu)造h（x）=f（x）+x，利用單調(diào)性的定義、f（x）的單調(diào)性證明h（x）在R上的單調(diào)性，由單調(diào)性列出不等式，即可求出m的范圍．

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．