【題目】在斜三棱柱中,是邊長為2的正三角形,側(cè)面為菱形,且,,點(diǎn)O為AC中點(diǎn).
(1)求證:平面ABC;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)連接BO,由于側(cè)面為菱形,,得,,由勾股定理得,,再由線面垂直的判定定理可得證;
(2)分別以為x軸,y軸,軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由線面角的向量求解方法可求得直線與平面所成角的正弦值.
(1)連接BO,因?yàn)閭?cè)面為菱形,,
所以,因?yàn)辄c(diǎn)O為AC中點(diǎn),所以,
又因?yàn)?/span>,所以,
因?yàn)?/span>,所以,
又因?yàn)?/span>,是正三角形,
所以,且
因?yàn)?/span>,所以,
又因?yàn)?/span>,,
平面ABC,平面ABC
所以平面ABC,
(2)分別以為x軸,y軸,軸的正方向,
建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則,
則,
設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則
,即,
令,則,,,
設(shè)直線與平面所成角為,
,
所以直線與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種設(shè)備隨著使用年限的增加,每年的維護(hù)費(fèi)相應(yīng)增加現(xiàn)對一批該設(shè)備進(jìn)行調(diào)查,得到這批設(shè)備自購入使用之日起,前5年平均每臺(tái)設(shè)備每年的維護(hù)費(fèi)用大致如下表:
年份(年) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
維護(hù)費(fèi)(萬元) | 1.1 | 1.6 | 2 | 2.5 | 2.8 |
(1)在這5年中隨機(jī)抽取兩年,求平均每臺(tái)設(shè)備每年的維護(hù)費(fèi)用至少有1年多于2萬元的概率;
(2)求關(guān)于的線性回歸方程.若該設(shè)備的價(jià)格是每臺(tái)16萬元,你認(rèn)為應(yīng)該使用滿五年換一次設(shè)備,還是應(yīng)該使用滿八年換一次設(shè)備?請說明理由.
參考公式:用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分10分)選修4—4,坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線,直線:(為參數(shù)).
(I)寫出曲線的參數(shù)方程,直線的普通方程;
(II)過曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為的直線,交于點(diǎn),的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A.“”是“點(diǎn)到直線的距離為3”的充要條件
B.直線的傾斜角的取值范圍為
C.直線與直線平行,且與圓相切
D.離心率為的雙曲線的漸近線方程為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,直線與橢圓相交于兩點(diǎn);當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的下頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)時(shí),的周長為,且與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
(1)求橢圓的方程;
(2)點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),滿足,若點(diǎn)恰好在圓上,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校名學(xué)生參加軍事冬令營活動(dòng),活動(dòng)期間各自扮演一名角色進(jìn)行分組游戲,角色按級別從小到大共種,分別為士兵、排長、連長、營長、團(tuán)長、旅長、師長、軍長和司令.游戲分組有兩種方式,可以人一組或者人一組.如果人一組,則必須角色相同;如果人一組,則人角色相同或者人為級別連續(xù)的個(gè)不同角色.已知這名學(xué)生扮演的角色有名士兵和名司令,其余角色各人,現(xiàn)在新加入名學(xué)生,將這名學(xué)生分成組進(jìn)行游戲,則新加入的學(xué)生可以扮演的角色的種數(shù)為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)為豐富教職工生活,五一節(jié)舉辦教職工趣味投籃比賽,有兩個(gè)定點(diǎn)投籃位置,在點(diǎn)投中一球得2分,在點(diǎn)投中一球得3分.規(guī)則是:每人投籃三次按先再再的順序各投籃一次,教師甲在和點(diǎn)投中的概率分別是和,且在兩點(diǎn)投中與否相互獨(dú)立.
(1)若教師甲投籃三次,求教師甲投籃得分的分布列;
(2)若教師乙與教師甲在點(diǎn)投中的概率相同,兩人按規(guī)則各投三次,求甲勝乙的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A.若:,,則:,.
B.命題“已知,若,則或”是真命題.
C.“在上恒成立”“在上恒成立”.
D.函數(shù)的最小值為2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】齊王有上等,中等,下等馬各一匹;田忌也有上等,中等,下等馬各一匹.田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬;田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬;田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)各選一匹進(jìn)行一場比賽,若有優(yōu)勢的馬一定獲勝,則齊王的馬獲勝的概率為( )
A. B. C. D.
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