Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁=λ，a_n+1=a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)，
（Ⅰ）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；
（Ⅱ）證明：當(dāng)λ≠-18時(shí)，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

（Ⅰ）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使｛a_n｝是等比數(shù)列，則有a₂²=a₁a₃，
即（）²=²矛盾，
所以｛a_n｝不是等比數(shù)列。
（Ⅱ）證明：∵
，
又λ≠-18，
∴，
由上式知，
∴，
故當(dāng)λ≠-18時(shí)，數(shù)列｛b_n｝是以-（λ+18）為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。
（Ⅲ）解：當(dāng)λ≠-18時(shí)，由（Ⅱ）得，
于是，
當(dāng)λ=-18時(shí)，，從而，上式仍成立.
要使對(duì)任意正整數(shù)n，都有S_n＞-12，
即，
令，則
當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，1；
∴f（n）的最大值為，
于是可得，
綜上所述，存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有S_n＞-12，
λ的取值范圍為。