【題目】各項均為正數(shù)的數(shù)列{bn}的前n項和為Sn , 且對任意正整數(shù)n,都有2Sn=bn(bn+1).
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)如果等比數(shù)列{an}共有2015項,其首項與公比均為2,在數(shù)列{an}的每相鄰兩項ak與ak+1之間插入k個(﹣1)kbk(k∈N*)后,得到一個新的數(shù)列{cn}.求數(shù)列{cn}中所有項的和;
(3)如果存在n∈N* , 使不等式 成立,求實數(shù)λ的范圍.
【答案】
(1)解:當(dāng)n=1時,由2S1=b1(b1+1)得b1=1,
當(dāng)n≥2時,由2Sn=bn(bn+1),2Sn﹣1=bn﹣1(bn﹣1+1)得(bn+bn﹣1)(bn﹣bn﹣1)=bn+bn﹣1
因數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù),所以bn﹣bn﹣1=1,
所以數(shù)列{bn}是首項與公差均為1的等差數(shù)列,
所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn=n.
(2)解:數(shù)列{an}的通項公式為 ,
數(shù)列{cn}共有2015+1+2+…+2014=1008×2015項,
其所有項的和為S1008×2015=(2+22+…+22015)+(﹣1+22﹣32+42﹣…20132+20142)
=2(22015﹣1)+[3+7+…+4027]=22016﹣2+ ×1007
=22016+2015×1007﹣2=22016+2029103
(3)解:由 ,
得 ,
記
因為 ,當(dāng) 取等號,所以 取不到 ,
當(dāng)n=3時, 的最小值為 (n∈N*)遞減,
的最大值為B1=6,
所以如果存在n∈N*,使不等式 成立
實數(shù)λ應(yīng)滿足A3≤λ≤B1,即實數(shù)λ的范圍應(yīng)為
【解析】
【考點精析】關(guān)于本題考查的數(shù)列的前n項和,需要了解數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,橢圓與軸交于 兩點,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點是橢圓上的一個動點,且直線與直線分別交于 兩點.是否存在點使得以 為直徑的圓經(jīng)過點?若存在,求出點的橫坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),函數(shù).
(1)若,極大值;
(2)若無零點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若有兩個相異零點,,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為矩形,為等邊三角形,且平面平面.為的中點,為的中點,過點,,的平面交于.
(1)求證:平面;
(2)若時,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某蛋糕店每天做若干個生日蛋糕,每個制作成本為50元,當(dāng)天以每個100元售出,若當(dāng)天白天售不出,則當(dāng)晚以30元/個價格作普通蛋糕低價售出,可以全部售完.
(1)若蛋糕店每天做20個生日蛋糕,求當(dāng)天的利潤(單位:元)關(guān)于當(dāng)天生日蛋糕的需求量(單位:個, )的函數(shù)關(guān)系;
(2)蛋糕店記錄了100天生日蛋糕的日需求量(單位:個)整理得下表:
(ⅰ)假設(shè)蛋糕店在這100天內(nèi)每天制作20個生日蛋糕,求這100天的日利潤(單位:元)的平均數(shù);
(ⅱ)若蛋糕店一天制作20個生日蛋糕,以100天記錄的各需求量的頻率作為概率,求當(dāng)天利潤不少于900元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x,x∈R.
(1)當(dāng)m取何值時,方程|f(x)-2|=m有一個解?兩個解?
(2)若不等式[f(x)]2+f(x)-m>0在R上恒成立,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x|2≤x≤8},B={x|1<x<6},C={x|x>a},U=R.
(1)求A∪B,(CUA)∩B;
(2)若A∩C≠,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(多選題)對任意實數(shù),,,下列命題中正確的是( )
A.“”是“”的充要條件
B.“是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的充要條件
C.“”是“”的充分條件
D.“”是“”的必要條件
E.“”是“”的必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知F1 , F2分別是橢圓C: (a>b>0)的兩個焦點,P(1, )是橢圓上一點,且 |PF1|,|F1F2|, |PF2|成等差數(shù)列.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知動直線l過點F2 , 且與橢圓C交于A,B兩點,試問x軸上是否存在定點Q,使得 =﹣ 恒成立?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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