Question

【題目】如圖（示意），公路AM、AN圍成的是一塊頂角為α的角形耕地，其中tanα＝－2．在該塊土地中P處有一小型建筑，經(jīng)測量，它到公路AM，AN的距離分別為3km，km．現(xiàn)要過點(diǎn)P修建一條直線公路BC，將三條公路圍成的區(qū)域ABC建成一個(gè)工業(yè)園．為盡量減少耕地占用，問如何確定B點(diǎn)的位置，使得該工業(yè)園區(qū)的面積最小？并求最小面積．

Answer 1

【答案】當(dāng)AB＝5km時(shí)，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km2．

【解析】試題分析：先確定點(diǎn)P的位置，再利用BC的斜率表示工業(yè)園區(qū)的面積，利用導(dǎo)數(shù)求其最值.以A為原點(diǎn)，AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．因?yàn)?/span>tanα＝－2，故直線AN的方程是y＝－2x．設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)．因?yàn)辄c(diǎn)P到AM的距離為3，故y0＝3．由P到直線AN的距離為，得，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，所以點(diǎn)P(1，3)．顯然直線BC的斜率存在．設(shè)直線BC的方程為y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．令y＝0得xB＝1－．由解得yC＝．設(shè)△ABC的面積為S，則S＝xB×yC＝．由S＝＝0得k＝－或k＝3．所以當(dāng)k＝－時(shí)，即AB＝5時(shí)，S取極小值，也為最小值15．

試題解析：解：

如圖1，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

因?yàn)?/span>tanα＝－2，故直線AN的方程是y＝－2x．

設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)．

因?yàn)辄c(diǎn)P到AM的距離為3，故y0＝3．

由P到直線AN的距離為，

得，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，

所以點(diǎn)P(1，3)． 4分

顯然直線BC的斜率存在．設(shè)直線BC的方程為y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．

令y＝0得xB＝1－． 6分

由解得yC＝． 8分

設(shè)△ABC的面積為S，則S＝×xB×yC＝10分

由S＝＝0得k＝－或k＝3．

當(dāng)－2＜k＜－時(shí)，S＜0，S單調(diào)遞減；當(dāng)－＜k＜0時(shí)，S＞0，S單調(diào)遞增． 13分

所以當(dāng)k＝－時(shí)，即AB＝5時(shí)，S取極小值，也為最小值15．

答：當(dāng)AB＝5km時(shí)，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km2． 16分