(1)寫出一元二次方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根的充要條件
(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)在集合A={-2,-1,0,1,2,3}中取值,且a,b,c互不相等,則共有多少條拋物線與x
軸的正、負(fù)半軸都有交點?
(3)在(2)的條件下,任取一條拋物線它恰與x軸的正、負(fù)半軸都有交點的概 率為多少?
(要求列出算式并寫出結(jié)果,若無算式或算式不正確均不給分)

解:(1)一元二次方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根的充要條件是:ac<0
先看充分性:當(dāng)ac<0時,方程根的判別式△=b2-4ac>0,
并且方程ax2+bx+c=0的兩根之積為x1•x2=<0,因此方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根的兩根;
再看必要性:當(dāng)一元二次方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根時,不妨設(shè)x1<0且x2>0
則有兩根之積為x1•x2=<0,所以ac<0.
綜上所述,可得一元二次方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根的充要條件是:ac<0.
(2)拋物線與x軸的正、負(fù)半軸都有交點,可得方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根,由(1)可知a、c的取值應(yīng)該是一正一負(fù).
因此先取a、c的值:在-2、-1中取一個數(shù),再在1、2、3中取一個數(shù),分別作為a、c的值,共2×3×2=12種取法;
再取b的值,有4種取法,所以a、b、c的取法一共有12×4=48種取法.
綜上所述,共有48條拋物線與x軸的正、負(fù)半軸都有交點.
(3)因為a≠0,所以a的取值有-2,-1,1,2,3共五種取法,
再給b取值:由-2,-1,1,2,3剩下的4個值,再加上0,也有五種取法,
最后給c取值,共有4種取法.因此總共有5×5×4=100種不同的a、b、c的取法.
而根據(jù)(2)知,符合題意的a、b、c的取法共有48種,
所以任取一條拋物線它恰與x軸的正、負(fù)半軸都有交點的概率為P==0.48
分析:(1)首先給出題中的充要條件是:ac<0.再給予證明,充分性:當(dāng)ac<0時,由一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,可得兩根之積為負(fù)數(shù),從而方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根;必要性:當(dāng)一元二次方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根時,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,不難得到ac<0.
(2)由(1)的結(jié)論,可得取出來的a、b、c值滿足ac<0即可,因此先取a、c的值,共2×3×2=12種取法;再取b的值,有4種取法,所以a、b、c的取法一共有12×4=48種取法.可得共48條拋物線與x軸的正、負(fù)半軸都有交點.
(3)先計算所有的系數(shù)a、b、c種數(shù):因為a≠0,所以a的取值共五種取法,再給b取值,因為b可以取0,所以也有五種取法,最后給c取值,共有4種取法.因此總共有5×5×4=100種不同的a、b、c的取法.而根據(jù)(2)知,符合題意的a、b、c的取法共有48種,最后利用隨機(jī)事件的概率公式,得到所求事件的概率為0.48.
點評:本題給出一元二次方程ax2+bx+c=0,通過探討它有一正一負(fù)根的問題展開研究,求與x軸的正、負(fù)半軸都有交點的拋物線的條數(shù),著重考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、排列組合的乘法原理和隨機(jī)事件的概率等知識點,屬于中檔題.
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