Question

【題目】已知函數(shù)（）．

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實數(shù)的最小值；

（3）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在遞增，在遞減．（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)導數(shù)，確定導函數(shù)零點1，列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間（2）由題意得在恒成立，即利用變量分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值：的最大值，而可視作一個二次函數(shù)，根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系得最值（3）不等式存在性問題，一般利用變量分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題：，設(shè)，則，所以，也可分類討論

試題解析：（1）時，，，

令，解得，令，解得，

∴在遞增，在遞減．

（2）由已知得，函數(shù)的定義域為，

函數(shù)在上為減函數(shù)，∴在恒成立，

即在恒成立．

令，則，得到在恒成立，得，即的最小值為．

（3）若存在，使得成立，

問題等價于：存在，使得成立，

問題等價于：“當時，有”，且，

∵，結(jié)合（2）知：當時，．

①當時，在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，

則，得到成立．

②當時，不滿足題意，綜上