Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的方程為：，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，為原點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.

（1）以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），與點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)先由相關(guān)點(diǎn)法求出點(diǎn)的軌跡方程，再由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的公式，即可得出結(jié)果；

(2)將直線的參數(shù)方程代入點(diǎn)的普通軌跡方程，得到關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理和即可求出弦長(zhǎng).

（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，為線段的中點(diǎn)，

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

由點(diǎn)在橢圓上得，

化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程為①

將，，代入①得，

化簡(jiǎn)可得點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程為．

（2）（法一）把直線參數(shù)方程 (為參數(shù))代入①得，

化簡(jiǎn)得：

設(shè)、兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，由直線參數(shù)方程的幾何意義得

弦長(zhǎng)．

（法二）由直線參數(shù)方程 (為參數(shù))知，直線過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為，

直線的極坐標(biāo)方程為．

由解得：和

弦長(zhǎng)．

（法三）由直線參數(shù)方程 (為參數(shù))知，

直線的普通方程為，

聯(lián)立解得和

弦長(zhǎng)．