Question

（2013•佛山一模）數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=2a_n-2，數(shù)列{b_n}是首項為a₁，公差不為零的等差數(shù)列，且b₁，b₃，b₁₁成等比數(shù)列．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（3）求證：

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

＜5．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2a_n-2，分別令n=1，2，3可求a₁，a₂，a₃
（2）n≥2時，由a_n=s_n-s_n-1可得a_n=2a_n-1，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可求a_n，然后由b₁=a₁且b₁，b₃，b₁₁成等比數(shù)列可求公差d，進(jìn)而可求通項
（3）令T_n=

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

，代入結(jié)合項的特點考慮利用錯位相減求和先求出左邊的式子的和，然后可證明

解答：（本題滿分14分）
解：（1）∵S_n=2a_n-2，
∴當(dāng)=1時，a₁=2a₁-2，解得a₁=2；
當(dāng)n=2時，S₂=2+a₂=2a₂-2，解得a₂=4；
當(dāng)n=3時，s₃=a₁+a₂+a₃=2a₃-2，解得a₃=8．-----------------（3分）
（2）當(dāng)n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，-----（5分）
得a_n=2a_n-1又，a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列，
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為an=2n．-----------------（7分）
b₁=a₁=2，設(shè)公差為d，則由且b₁，b₃，b₁₁成等比數(shù)列
得（2+2d）²=2（2+10d），-----------------（8分）
解得d=0（舍去）或d=3，----------------（9分）
∴b_n=3n-1．-----------------（10分）
（3）令T_n=

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

=

2

2

+

5

22

+…+

3n-1

2n

，
∴2T_n=2+

5

2

+

8

22

+…+

3n-1

2n-1

，-----------------（11分）
兩式式相減得Tn=2+

3

2

+

3

22

+…+

3

2n-1

-

3n-1

2n

=2+

3 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

3n-1

2n

=5-

3n+5

2n

，-----------------（13分）
又

3n+5

2n

 ＞0，故：

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

＜5．．-----------------（14）

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列，等比數(shù)列的通項公、性質(zhì)及等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用
，數(shù)列的錯位相減求和方法的應(yīng)用，適用具有一定的計算量