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如圖，四棱錐中,，底面為梯形，，，且，.

（1）求證：;
（2）求二面角的余弦值.

（1）證明過程詳見試題解析；（2）.

解析試題分析：（1）連結交于點，連結.由長度比例關系可知,得到.再根據線面平行的判定得到;（2）方法一：采用空間向量法，以點為坐標原點，為軸，垂直為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，設，那么點確定.再根據向量關系求出二面角的平面角的余弦值為；方法二：純幾何法，取的中點,延長交的延長線于點,根據三角形相似關系可以得到二面角的平面角為.
試題解析：（1）連結,交于點,連結， 
∵，， ∴
又 ∵, ∴
∴ 在△BPD中，
 
∴∥平面

（2）方法一：以為原點，所在直線分別為軸、軸，如圖建立空間直角坐標系.

設，則，，，，．
設為平面的一個法向量，
則，，∴，
解得，∴．
設為平面的一個法向量，則，，
又，，∴，
解得，∴ 

∴二面角的余弦值為．
方法二：在等腰Rt中，取中點，連結

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，三棱柱中，側棱平面，為等腰直角三角形，，且分別是的中點.

（1）求證：平面；
（2）求銳二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，底面是邊長為1的正方形，E、F分別是棱B1B、DA的中點．
(1)求二面角D1-AE-C的大小；
(2)求證：直線BF∥平面AD1E.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，側棱SA底面ABCD，且SA＝2，AD＝DC＝1

（1）若點E在SD上，且證明：平面；
（2）若三棱錐S－ABC的體積，求面SAD與面SBC所成二面角的正弦值的大小

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.

(1)求證：AA1⊥平面ABC；
(2)求二面角A1­BC1­B1的余弦值；
(3)證明：在線段BC1上存在點D，使得AD⊥A1B，并求的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示，四棱錐P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點。

(1)求證：BM∥平面PAD；
(2)在側面PAD內找一點N，使MN平面PBD；
(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P­ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O為AD中點．

(1)求直線PB與平面POC所成角的余弦值；
(2)求B點到平面PCD的距離；
(3)線段PD上是否存在一點Q，使得二面角Q­AC­D的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中點．

(1)求證：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若二面角P-AC-E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖在棱長為1的正方體中，M,N分別是線段和BD上的點，且AM=BN=

（1）求||的最小值；
（2）當||達到最小值時，與，是否都垂直，如果都垂直給出證明；如果不是都垂直，說明理由．

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