Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)為曲線上的動點(diǎn)，點(diǎn)在線段 的延長線上，且滿足，點(diǎn)的軌跡為.

（1）求曲線，的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求面積的最小值。

Answer 1

【答案】（1），；（2）2

【解析】

（1）將曲線的參數(shù)方程通過消參化為普通方程，再利用互化公式，即可求出其極坐標(biāo)方程；分別設(shè)出的極坐標(biāo)，利用以及極徑的意義，即可求出點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程.

（2）在極坐標(biāo)系下，結(jié)合極徑以及極角的幾何意義，運(yùn)用三角形的面積公式建立關(guān)于面積的函數(shù)，從而求出其最小值.

（1）因為的參數(shù)方程為，

消去參數(shù)得，則一般式為，

由，可得的極坐標(biāo)方程為；

設(shè)，則，

而為曲線上的動點(diǎn)，則，

因為點(diǎn)在線段 的延長線上，則設(shè)，有，

因為，

所以得，即，

所以的極坐標(biāo)方程為.

（2）由（1）可知，，

邊上的高為，

則，

因為，所以當(dāng)時，.