精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,AC=BC,AB=2,O為AB的中點(diǎn),沿OC將△AOC折起到△A′OC的位置,使得直線A′B與平面ABC成30°角.
(1)若點(diǎn)A′到直線BC的距離為l,求二面角A′-BC-A的大;
(2)若∠A′CB+∠OCB=π,求BC邊的長(zhǎng).
分析:(1)過點(diǎn)A′作A′D⊥AB,垂足為D,由已知中AC=BC,沿OC將△AOC折起到△A′OC的位置,易根據(jù)面面垂直的判定定理得到平面A′OB⊥平面ABC,進(jìn)而得到A′D⊥平面ABC,再根據(jù)已知中直線A′B與平面ABC成30°角,求出A′D的長(zhǎng)度,過點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E,連接A′E,易得∠A′ED為二面角A′-BC-A的平面角,解Rt△A′DE即可求出二面角A′-BC-A的大小;
(2)設(shè)BC=x,∠A′CB=θ,則A′C=x,∠OCB=π-θ,解Rt△BOC,△A′DB,△A′BC,可以求出x值的大小,進(jìn)而得到BC邊的長(zhǎng).
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)由已知,OC⊥OB,OC⊥OA′從而平面A′OB⊥平面ABC.
過點(diǎn)A′作A′D⊥AB,垂足為D,則A′D⊥平面ABC,…(2分)
∴∠A′ED=30°,又A′O=BO=1,∴∠A′OD=60°,
從而A′D=A′O•sin60°=
3
2
.…(4分)
過點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E,連接A′E,據(jù)三垂線定理,A′E⊥BC.
∴∠A′ED為二面角A′-BC-A的平面角.…(5分)
由已知,A′E=1,在Rt△A′DE中sin∠A′ED=
A′D
A′E
=
3
2

∴∠A′ED=60°故二面角A′-BC-A的大小為60°.…(6分)
(2)設(shè)BC=x,∠A′CB=θ,則A′C=x,∠OCB=π-θ.
在Rt△BOC中,sin∠OCB=
OB
BC

∴sin(π-θ)=
1
x
,即sinθ=
1
x
…(9分)
在△A′DB中,A′B=
A′D
sin30°
=
3

在△A′BC中,A′B2=A′C2+BC2-2A′C•BC•cos∠A′CB
∴3=x2+x2-2x2•cosθ,即cosθ=1-
3
2x2
…(12分)
∵sin2θ+cos2θ=1
1
x2
+
(1-
3
2x2
2=1
解得x=
3
2
4

故BC=
3
2
4
…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法,空間兩點(diǎn)之間的距離計(jì)算,其中(1)的關(guān)鍵是構(gòu)造出∠A′ED為二面角A′-BC-A的平面角,(2)的關(guān)鍵是設(shè)出BC邊的長(zhǎng),根據(jù)已知條件,結(jié)合解三角形的方法(余弦定理)構(gòu)造出關(guān)于x的方程.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,已知∠ABC=90°,AB上一點(diǎn)E,以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點(diǎn)D,若AE=2cm,
AD=4cm.
(1)求:⊙O的直徑BE的長(zhǎng);
(2)計(jì)算:△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,D是邊AC上的點(diǎn),且AB=AD,2AB=
3
BD,BC=2BD,則sinC的值為(  )
A、
3
3
B、
3
6
C、
6
3
D、
6
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在△ABC中,設(shè)
AB
=a
,
AC
=b
,AP的中點(diǎn)為Q,BQ的中點(diǎn)為R,CR的中點(diǎn)恰為P.
(Ⅰ)若
AP
=λa+μb
,求λ和μ的值;
(Ⅱ)以AB,AC為鄰邊,AP為對(duì)角線,作平行四邊形ANPM,求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比
S平行四邊形ANPM
S△ABC

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在△ABC中,∠B=45°,D是BC邊上的一點(diǎn),AD=5,AC=7,DC=3.
(1)求∠ADC的大小;
(2)求AB的長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在△ABC中,已知
BD
=2
DC
,則
AD
=(  )

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