若函數(shù)f（x）在定義域D內(nèi)某區(qū)間I上是增函數(shù)，而F(x)=
f(x)x
在I上是減函數(shù)，則稱y=f（x）在I上是“弱增函數(shù)”
（1）請分別判斷f（x）=x+4，g（x）=x2+4x在x∈（1，2）是否是“弱增函數(shù)”，并簡要說明理由．
（2）證明函數(shù)h（x）=x2+a2x+4（a是常數(shù)且a∈R）在（0，1]上是“弱增函數(shù)”．
分析：（1）利用“弱增函數(shù)”的定義逐個判斷即可；
（2）按“若增函數(shù)”的定義需證明兩條：①證明h（x）在（0，1]上是增函數(shù)；②證明
h(x)
x
在（0，1]上是減函數(shù)．
解答：解：（1）由于f（x）=x+4在（1，2）上是增函數(shù)，且F（x）=
f(x)
x
=1+
4
x
在（1，2）上是減函數(shù)，
所以f（x）=x+4在（1，2）上是“弱增函數(shù)”，g（x）=x2+4x在（1，2）上是增函數(shù)，但
g(x)
x
=x+4在（1，2）上不是減函數(shù)，
所以g（x）=x2+4x+2在（1，2）上不是“弱增函數(shù)”．
（2）因?yàn)閔（x）=x2+a2•x+4的對稱軸為x=-
a2
2
≤0，開口向上，所以h（x）在（0，1]上是增函數(shù)．
下面證明函數(shù)F（x）=
h(x)
x
=x+
4
x
+a2在（0，1]上是減函數(shù)．
設(shè)0＜x1＜x2≤1，
則F(x1)-F(x2)=(x1+
4
x1
+a2)-(x2+
4
x2
+a2)=
(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2
，
∵0＜x1＜x2≤1，∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1，
∴F(x1)-F(x2)=
(x1-x2)(x1x2-b)
x1x2
＞0，即F（x1）＞F（x2）．
所以F（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，
所以h（x）在（0，1]上是“弱增函數(shù)”；
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷及證明，考查對新問題的理解分析及解決能力．
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給出定義：若函數(shù)f（x）在D上可導(dǎo)，即f′（x）存在，且導(dǎo)函數(shù)f′（x）在D上也可導(dǎo)，則稱f（x）在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f″（x）=（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，則稱f（x）在D上為凸函數(shù)．對于給出的四個函數(shù)：
①f（x）=sinx+cosx，②f（x）=lnx-2x，③f（x）=-x4+x3-x2+1，④f（x）=-xe-x
以上四個函數(shù)在(0，
π2
)上是凸函數(shù)的是
①②③
①②③
（請把所有正確的序號均填上）

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若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，在（-∞，0）上為減函數(shù)，且f（2）=0，則使得f（x）＜0的x的取值范圍是（　�。�

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（1）若f（x）在x=2時取得極小值，求b的值；
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設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）2+blnx．
（1）若f（x）在x=2時取得極小值，求b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在定義城上是單調(diào)函數(shù)，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年湖北省七市州高三（下）4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）2+blnx．
（1）若f（x）在x=2時取得極小值，求b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在定義城上是單調(diào)函數(shù)，求b的取值范圍．

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