Question

東方莊家給游人準(zhǔn)備了這樣一個(gè)游戲，他制作了“迷尼游戲板”：在一塊傾斜放置的矩形膠合板上釘著一個(gè)形如“等腰三角形”的八行鐵釘，釘子之間留有空隙作為通道，自上而下第1行2個(gè)鐵釘之間有1個(gè)空隙，第2行3個(gè)鐵釘之間有2個(gè)空隙，…，第8行9個(gè)鐵釘之間有8個(gè)空隙（如圖所示）．東方莊家的游戲規(guī)則是：游人在迷尼板上方口放人一球，每玩一次（放入一球就算玩一次）先付給莊家2元．若小球到達(dá)①②③④號(hào)球槽，分別獎(jiǎng)4元、2元、0元、-2元．（一個(gè)玻璃球的滾動(dòng)方式：通過(guò)第1行的空隙向下滾動(dòng)，小球碰到第二行居中的鐵釘后以相等的概率滾入第2行的左空隙或右空隙．以后小球按類似方式繼續(xù)往下滾動(dòng)，落入第8行的某一個(gè)空隙后，最后掉入迷尼板下方的相應(yīng)球槽內(nèi)）．恰逢周末，某同學(xué)看了一個(gè)小時(shí)，留心數(shù)了數(shù)，有80人次玩．試用你學(xué)過(guò)的知識(shí)分析，這一小時(shí)內(nèi)莊家是贏是賠；通過(guò)計(jì)算，你想到了什么？

Answer 1

分析：游人每玩一次，設(shè)東方莊家獲利為隨機(jī)變量ξ（元）；游人每放一球，小球落入球槽，相當(dāng)于做7次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，設(shè)這個(gè)小球落入鐵釘空隙從左到右的次序?yàn)殡S機(jī)變量η+1，則η～B（7，

1

2

），利用概率公式即可求解．

解答：解：游人每玩一次，設(shè)東方莊家獲利為隨機(jī)變量ξ（元）；游人每放一球，小球落入球槽，相當(dāng)于做7次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，設(shè)這個(gè)小球落入鐵釘空隙從左到右的次序?yàn)殡S機(jī)變量η+1，則η～B（7，

1

2

）．
因?yàn)镻（ξ=-4）=P（η=0或η=7）=P（η=0）+P（η=7）=

C

0 7

(

1

2

)0(

1

2

)7+

C

7 7

(

1

2

)7(

1

2

)0=

1

26

P（ξ=-2）=P（η=1或η=6）=P（η=1）+P（η=6）=

C

1 7

(

1

2

)1(

1

2

)6+

C

6 7

(

1

2

)6(

1

2

)1=

7

26

P（ξ=0）=P（η=2或η=5）=P（η=2）+P（η=5）=

C

2 7

(

1

2

)2(

1

2

)5+

C

5 7

(

1

2

)5(

1

2

)2=

21

26

P（ξ=2）=P（η=3或η=4）=P（η=3）+P（η=4）=

C

3 7

(

1

2

)3(

1

2

)4+

C

4 7

(

1

2

)4(

1

2

)3=

35

26

2+Eξ=2+（-4）×

1

26

+（-2）×

7

26

+0×

21

26

+2×

35

26

=2+

52

26

，
一小時(shí)內(nèi)有80人次玩．剛東方莊家通常獲純利為（2+

52

26

×）80=225（元）
答：莊家當(dāng)然是贏家!我們應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)以所學(xué)過(guò)的知識(shí)為武器，勸說(shuō)人們不要被這類騙子的騙術(shù)所迷惑．        （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查概率知識(shí)的運(yùn)用，分析變量滿足二項(xiàng)分布是解題的關(guān)鍵．