(2007•普陀區(qū)一模)在直角坐標系中,已知點列P1(1,-
1
2
),P2(2,
1
22
),P3(3,-
1
23
),…,Pn(n,(-
1
2
)n
),…,其中n是正整數(shù).連接P1 P2的直線與x軸交于點X1(x1,0),連接P2 P3的直線與x軸交于點X2(x2,0),…,連接Pn Pn+1的直線與x軸交于點Xn(xn,0),….
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)依次記△X1P2X2的面積為S1,△X2P3X3的面積為S3,…,△XnPn+1Xn的面積為Sn,…試求無窮數(shù)列{Sn}的各項和.
分析:(1)由題設知直線PnPn+1的方程為:
y-(-
1
2
)
n
x-n
=
(-
1
2
)
n+1
-(-
1
2
)
n
(n+1)-n
=(-
3
2
(-
1
2
)
n
,令y=0,得xn=x=n+
2
3

(2)由Sn=
1
2n+2
,知數(shù)列{an}是首項為
1
8
,公比為
1
2
的等比數(shù)列,由此能求出無窮數(shù)列{Sn}的各項和.
解答:解:(1)∵Pn(n,(-
1
2
)n
),Pn+1(n+1,(-
1
2
)
n+1
),
∴直線PnPn+1的方程為:
y-(-
1
2
)
n
x-n
=
(-
1
2
)
n+1
-(-
1
2
)
n
(n+1)-n
=(-
3
2
(-
1
2
)
n
,
∴令y=0,得-(-
1
2
)
n
=(-
3
2
(-
1
2
)
n
(x-n)

整理,得x-n=
2
3
,
∴xn=x=n+
2
3

xn=n+
2
3
,n∈N*

(2)由題設條件能夠導出Sn=
1
2n+2
,
∴數(shù)列{an}是首項為
1
8
,公比為
1
2
的等比數(shù)列,
∴S=
lim
n→∞
Sn=
1
8
1-
1
2
=
1
4
點評:本題考查數(shù)列現(xiàn)解析幾何的綜合運用,解題時要認真審題,注意挖掘題設中的隱含條件,合理地進行等價轉化.
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