分析：（Ⅰ）f（x）=3x
2+2ax+b．依題意則有：
，解得
，所以f（x）=x
3-6x
2+9x；求導(dǎo)f′（x）利用導(dǎo)數(shù)研究f（x）在區(qū)間（0，4]上的變化情況即可得到函數(shù)f（x）=x
3-6x
2+9x在區(qū)間[0，4]上的最大值，最小值．
（Ⅱ）由函數(shù)的定義域是正數(shù)知，s＞0，故極值點（3，0）不在區(qū)間[s，t]上；下面分類討論：（1）若極值點M（1，4）在區(qū)間[s，t]，（2）若f（x）=x
3-6x
2+9x在[s，t]上單調(diào)增，（3）若f（x）=x
3-6x
2+9x在[s，t]上單調(diào)減，看是不是存在這樣的正數(shù)s即可；
（Ⅲ）同（Ⅱ），極值點（3，0）不可能在區(qū)間[s，t]上；分類討論：（1）若極值點M（1，4）在區(qū)間[s，t]，（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[s，t]單調(diào)遞增，（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[s，t]單調(diào)遞減，綜上可得結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=3x
2+2ax+b．依題意則有：
，所以
，解得
，所以f（x）=x
3-6x
2+9x；
f′（x）=3x
2-12x+9=3（x-1）（x-3），由f′（x）=0可得x=1或x=3．
f′（x），f（x）在區(qū)間（0，4]上的變化情況為：
所以函數(shù)f（x）=x
3-6x
2+9x在區(qū)間[0，4]上的最大值是4，最小值是0．
（Ⅱ）由函數(shù)的定義域是正數(shù)知，s＞0，故極值點（3，0）不在區(qū)間[s，t]上；
（1）若極值點M（1，4）在區(qū)間[s，t]，此時0＜s≤1≤t＜3，在此區(qū)間上f（x）的最大值是4，不可能等于t；故在區(qū)間[s，t]上沒有極值點；
（2）若f（x）=x
3-6x
2+9x在[s，t]上單調(diào)增，即0＜s＜t≤1或3＜s＜t，
則
，即
，解得
不合要求；
（3）若f（x）=x
3-6x
2+9x在[s，t]上單調(diào)減，即1＜s＜t＜3，則
，
兩式相減并除s-t得：（s+t）
2-6（s+t）-st+10=0，①
兩式相除并開方可得[s（s-3）]
2=[t（t-3）]
2，
即s（3-s）=t（3-t），整理并除以s-t得：s+t=3，②
代入①有st=1，與1＜s＜t＜3矛盾．
（Ⅲ）同（Ⅱ），極值點（3，0）不可能在區(qū)間[s，t]上；
（1）若極值點M（1，4）在區(qū)間[s，t]，此時0＜s≤1≤t＜3，
故有①
| | 0＜s≤1≤t＜3 | | kt=4 | | ks=f(s) | | f(s)≤f(t) |
| |
或②
| | 0＜s≤1≤t＜3 | | kt=4 | | ks=f(t) | | f(s)≥f(t) |
| |
①由k=
，1≤t＜3知，k∈（
，4]，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時，k=4；
再由k=（s-3）
2，0＜s≤1知，k∈[4，9），當(dāng)且僅當(dāng)s=1時，k=4
由于s≠t，故不存在滿足要求的k值．
②由s=
f（t）=
f（t）=[
]
2，及0＜s≤1可解得2≤t＜3，
所以k=
，2≤t＜3知，k∈（
，2]；
即當(dāng)k∈（
，2]時，存在t=
∈[2，3），s=
f（t）=
f（t）=[
]
2∈（0，1]，
且f（s）≥4s=
f（t）＞f（t），滿足要求．
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[s，t]單調(diào)遞增，則0＜s＜t≤1或3＜s＜t，
且
，故s，t是方程x
2-6x+9=k的兩根，
由于此方程兩根之和為3，故[s，t]不可能同在一個單調(diào)增區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[s，t]單調(diào)遞減，則1＜s＜t＜3，
，
兩式相除并整理得s
2（s-3）
2=t
2（t-3）
2，由1＜s＜t＜3知s（s-3）=t（t-3），即s+t=3，
再將兩式相減并除以s-t得，-k=（s
2+st+t
2）-6（s+t）+9=（s+t）
2-6（s+t）+9-st=-st，
即k=st，所以s，t是方程x
2-3x+k=0的兩根，令g（x）=x
2-3x+k，
則
，解得
2＜k＜，即存在s=
，s=
滿足要求．
綜上可得，當(dāng)
＜k＜時，存在兩個不等正數(shù)s，t（s＜t），
使x∈[s，t]時，函數(shù)f（x）=x
3-6x
2+9x的值域恰好是[ks，kt]．
