Question

已知橢圓過(guò)點(diǎn)，橢圓左右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，為等邊三角形.定義橢圓C上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求的最大值；
（3）直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),若點(diǎn)A、B的“伴隨點(diǎn)”分別是P、Q,且以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.橢圓C的右頂點(diǎn)為D，試探究ΔOAB的面積與ΔODE的面積的大小關(guān)系,并證明.

Answer 1

（1）（2）（3）的面積是定值

試題分析：解：（1）由已知，解得 ,方程為.4分
（2）當(dāng)時(shí)，顯然，由橢圓對(duì)稱(chēng)性，只研究即可，
設(shè)（），于是            5分
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)） 8分
（3） 設(shè),則;
1)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)方程為,
由 得: ；
有  ①          10分
由以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O可得: ；
整理得:   ②
將①式代入②式得: ,              12分
 
又點(diǎn)到直線的距離
===
所以                   14分
2) 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)方程為
聯(lián)立橢圓方程得: ；
代入得；
,    
綜上: 的面積是定值 
又的面積也為,所以二者相等.                  16分
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。