已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓L：
x2
18
+
y2
9
=1上不同的兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(2，
1)．
（1）求直線AB的方程；
（2）若線段AB的垂直平分線與橢圓L交于點(diǎn)C、D，試問四點(diǎn)A、B、C、D是否在同一個圓上，若是，求出該圓的方程；若不是，請說明理由．
分析：解一：（1）將點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）代入橢圓方程，兩式相減，再利用線段AB的中點(diǎn)為M(2，
1)，可求直線AB的斜率
y1-
y
 
2
x1-
x
 
2
=-1．故可求直線AB的方程；
解二：當(dāng)直線AB的不存在時，AB的中點(diǎn)在x軸上，不符合題意．設(shè)直線AB的方程為y-1=k（x-2），與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得（1+2k2）x2-（8k2-4k）x+8（k2-k-2）=0，利用AB的中點(diǎn)為M（2，1），結(jié)合韋達(dá)定理，可求直線AB的方程．
（2）由
x2
18
+
y2
9
=1
x+y-3=0
 消去y，得3x2-12x=0，求得A（0，3），B（4，-1），將線段AB的垂直平分線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得3x2-4x-16=0，從而可求線段CD的中點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而可知四點(diǎn)A、B、C、D在同一個圓上，從而可求圓的方程．
解答：解一：（1）∵點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓L上不同的兩點(diǎn)，
∴
x12
18
+
y12
9
=1，
x22
18
+
y22
9
=1．
以上兩式相減得：
x12-
x
2
2
18
+
y12-
y
2
2
9
=0，
即x12-
x
2
2
+2(y12-
y
2
2
)=0，(x1-
x
 
2
)(x1+
x
 
2
)+2(y1-
y
 
2
)(y1+
y
 
2
)=0，
∵線段AB的中點(diǎn)為M(2，
1)，
∴x1+
x
 
2
=4， y1+
y
 
2
=2．
∴4(x1-
x
 
2
)+4(y1-
y
 
2
)=0，
當(dāng)x1=x2，由上式知，y1=y2則A，B重合，與已知矛盾，因此x1≠x2，
∴
y1-
y
 
2
x1-
x
 
2
=-1．
∴直線AB的方程為y-1=-（x-2），即x+y-3=0．
由
x2
18
+
y2
9
=1
x+y-3=0
 消去y，得3x2-12x=0，解得x=0或x=4．
∴所求直線AB的方程為x+y-3=0．
解二：當(dāng)直線AB的不存在時，AB的中點(diǎn)在x軸上，不符合題意．
故可設(shè)直線AB的方程為y-1=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2）．
由
y-1=k(x-2)
x2
18
+
y2
9
=1
 消去y，得（1+2k2）x2-（8k2-4k）x+8（k2-k-2）=0（*）
∴x1+x2=
8k2-4k
1+2k2
．
∵AB的中點(diǎn)為M（2，1），
∴x1+x2=4．
∴
8k2-4k
1+2k2
=4．
解得k=-1．
此時方程（*）為3x2-12x=0，其判別式△=144＞0．
∴所求直線AB的方程為x+y-3=0．
（2）由于直線AB的方程為x+y-3=0，則線段AB的垂直平分線CD的方程為y-1=x-2，即x-y-1=0．
由
x2
18
+
y2
9
=1
x+y-3=0
 消去y，得3x2-12x=0，解得x=0或x=4．
∴A（0，3），B（4，-1）
由
x2
18
+
y2
9
=1
x-y-1=0
消去y，得3x2-4x-16=0
設(shè)C（x1′，y1′），D（x2′，y2′），
∴x′1+x′2=
4
3
，x′1x′2=-
16
3
．
∴線段CD的中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為xE=
x′1+x′2
2
=
2
3
，縱坐標(biāo)yE=xE-1=-
1
3
．
∴E(
2
3
，-
1
3
)．
∴|CD|=
(1+1)[(x′1+x′2)2-4x′1x′2]
=
2[(
4
3
)2-4×(-
16
3
)]
=
4
26
3
．
∵|EA|=
(
2
3
)2+(-
1
3
-3)2
=
2
26
3
=
1
2
|CD|，
|EB|=
(
2
3
-4)2+(-
1
3
+3)2
=
2
26
3
=
1
2
|CD|，
∴四點(diǎn)A、B、C、D在同一個圓上，此圓的圓心為點(diǎn)E，半徑為
2
26
3
，
其方程為(x-
2
3
)2+(y+
1
3
)2=
104
9
．
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查橢圓中弦的中點(diǎn)問題，考查四點(diǎn)共圓，解題時，利用設(shè)而不求法是關(guān)鍵，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是拋物線y2=2px（p＞0）上的兩個動點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量
OA
，
OB
滿足|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|，設(shè)圓C的方程為x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0．
（1）證明線段AB是圓C的直徑；
（2）當(dāng)圓C的圓心到直線x-2y=0的距離的最小值為
2
5
5
時，求p的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)y=sinx（-π＜x＜0）圖象上的兩個不同點(diǎn)，且x1＜x2，給出下列不等式：
①sinx1＜sinx2；
②sin
x1
2
＜sin
x2
2
；
③
1
2
(sinx1+sinx2)＞sin
x1+x2
2
；
④
sinx1
x1
＞
sinx2
x2
．
其中正確不等式的序號是
②③
②③
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是拋物線y2=2px（p＞0）上的兩個動點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA⊥OB，設(shè)圓C的方程為x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0．
（1）證明：圓C是以線段AB為直徑的圓；
（2）當(dāng)圓心C到直線x-2y=0的距離的最小值為
5
時，求P的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)A （x1，y1）；B（x2，y2）是定義在區(qū)間M上的函數(shù)y=f（x）的圖象任意不重合兩點(diǎn)，直線AB的斜率總小于零，則函數(shù)y=f（x） 在區(qū)間M上總是（　�。�

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