Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，對角線，交于點(diǎn)．

（Ⅰ）若，求證：平面；

（Ⅱ）若平面平面，求證：；

（Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得平面？說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）不存在，理由詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)菱形的對角線互相垂直，再結(jié)合已知垂直條件，利用線面垂直的判定定理可以證明出平面；

（Ⅱ）由面面垂直的性質(zhì)定理和菱形的對角線互相垂直，可以得到，再根據(jù)菱形對角線互相平分，這樣可以證明出；

（Ⅲ）假設(shè)存在，根據(jù)菱形的性質(zhì)和已知的平行條件， 可以得到平面平面，顯然不可能，故假設(shè)存在不成立，故不存在，命題得證.

（Ⅰ）證明：因?yàn)榈酌?/span>是菱形，

所以．因?yàn)?/span>，，平面，

所以平面．

（Ⅱ）證明：連接．

由（Ⅰ）可知．

因?yàn)槠矫?/span>平面，

所以平面．

因?yàn)?/span>平面，

所以．

因?yàn)榈酌?/span>是菱形，

所以．

所以．

（Ⅲ）解：不存在，證明如下．

假設(shè)存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得平面．

因?yàn)榱庑?/span>中，，且平面，

所以平面．

又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面．

這顯然矛盾！

從而，棱上不存在點(diǎn)，使得平面．