(2013•松江區(qū)一模)已知遞增的等差數(shù)列{an}的首項a1=1,且a1、a2、a4成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)設數(shù)列{cn}對任意n∈N*,都有
c1
2
+
c2
22
+…+
cn
2n
=an+1
成立,求c1+c2+…+c2012的值.
(3)若bn=
an+1
an
(n∈N*),求證:數(shù)列{bn}中的任意一項總可以表示成其他兩項之積.
分析:(1)由{an}是遞增的等差數(shù)列,設公差為d(d>0),由a1、a2、a4成等比數(shù)列,能求出數(shù)列{an}的通項公式an
(2)由an+1=n+1,
c1
2
+
c2
22
+…+
cn
2n
=n+1
對n∈N*都成立,能推導出cn=
4,(n=1)
2n,(n≥2)
,由此能求出c1+c2+…+c2012的值.
(3)對于給定的n∈N*,若存在k,t≠n,k,t∈N*,使得bn=bk•bt,由bn=
n+1
n
,只需
n+1
n
=
k+1
k
t+1
t
,由此能夠證明數(shù)列{bn}中的任意一項總可以表示成其他兩項之積.
解答:解:(1)∵{an}是遞增的等差數(shù)列,設公差為d(d>0)…(1分)
∵a1、a2、a4成等比數(shù)列,
a
2
2
=a1a4
…(2分)
由  (1+d)2=1×(1+3d)及d>0,得d=1,…(3分)
∴an=n(n∈N*).…(4分)
(2)∵an+1=n+1,
c1
2
+
c2
22
+…+
cn
2n
=n+1
對n∈N*都成立,
當n=1時,
c1
2
=2
,得c1=4,…(5分)
當n≥2時,由
c1
2
+
c2
22
+…+
cn
2n
=n+1
,①
c1
2
+
c2
22
+…+
cn-1
2n-1
=n
,②
①-②得
cn
2n
=1
,得cn=2n…(7分)
cn=
4,(n=1)
2n,(n≥2)
.…(8分)
c1+c2+…+c2012=4+22+23+…+22012=4+
22(1-22011)
1-2
=22013
…(10分)
(3)對于給定的n∈N*,若存在k,t≠n,k,t∈N*,使得bn=bk•bt…(11分)
bn=
n+1
n
,只需
n+1
n
=
k+1
k
t+1
t
,…(12分)
1+
1
n
=(1+
1
k
)•(1+
1
t
)
,即
1
n
=
1
k
+
1
t
+
1
kt

即kt=nt+nk+n,t=
n(k+1)
k-n
取k=n+1,則t=n(n+2)…(14分)
∴對數(shù)列{bn}中的任意一項bn=
n+1
n
,
都存在bn+1=
n+2
n+1
bn2+2n=
n2+2n+1
n2+2n
,
使得bn=bn+1bn2+2n.…(16分)
點評:本題考查數(shù)列的通項公式的求法,考查數(shù)列的前n項和的求法,綜合性強,對數(shù)學思維的要求較高,解題時要認真審題,注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.
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1
2
)x-1
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5
x
+
2
y
的最小值是
2
2

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x2
5
+
y2
4
=1
的右焦點,頂點在橢圓中心,則拋物線方程為
y2=4x
y2=4x

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x
,
y
)

若曲線C0
x
4
+
y
2
=1(x≥0,y≥0)
經(jīng)變換T后得到曲線C1,曲線C1經(jīng)變換T后得到曲線C2…,依此類推,曲線Cn-1經(jīng)變換T后得到曲線Cn,當n∈N*時,記曲線Cn與x、y軸正半軸的交點為An(an,0)和Bn(0,bn).某同學研究后認為曲線Cn具有如下性質(zhì):
①對任意的n∈N*,曲線Cn都關(guān)于原點對稱;
②對任意的n∈N*,曲線Cn恒過點(0,2);
③對任意的n∈N*,曲線Cn均在矩形OAnDnBn(含邊界)的內(nèi)部,其中Dn的坐標為Dn(an,bn);
④記矩形OAnDnBn的面積為Sn,則
lim
n→∞
Sn=1

其中所有正確結(jié)論的序號是
③④
③④

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