Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F分別是AB、PB的中點．
（1）求證：EF⊥CD；
（2）求DB與平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設AD=a，求出D，A，B，C，E，P，F(xiàn)，坐標
（1）通過

EF

•

DC

=0，證明EF⊥CD．
（2）設平面DEF的法向量為

n

=（x，y，z），由

(x，y，z)•( a 2 a 2 a 2 )=0    (x，y，z)•(a  a 2 ，0)=0

，推出

n

=（1，-2，1），
利用cos＜

BD

，

n

＞═

-a

2 a• 6

=-

3

6

．設DB與平面DEF所成角為θ，求出sinθ=

3

6

．

解答：解：以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖）．
設AD=a，則D（0，0，0），
A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），
E（a，

a

2

，0），P（0，0，a），F(xiàn)（

a

2

，

a

2

，

a

2

）．
（1）證明：∵

EF

•

DC

=（-

a

2

，0，

a

2

）•（0，a，0）=0，
∴

EF

⊥

DC

，∴EF⊥CD．
（2）設平面DEF的法向量為

n

=（x，y，z），
由

(x，y，z)•( a 2 a 2 a 2 )=0   (x，y，z)•(a  a 2 ，0)=0

，得即

a 2 (x+y+z)=0 ax+ a 2 y=0

，
取x=1，則y=-2，z=1，
∴

n

=（1，-2，1），
∴cos＜

BD

，

n

＞═

-a

2 a• 6

=-

3

6

．
設DB與平面DEF所成角為θ，則sinθ=

3

6

．

點評：本題是中檔題，考查空間向量求直線與平面的夾角，證明直線與直線的垂直，直線與平面所成的角，考查計算能力．