【題目】如圖,三棱柱中,側(cè)面為菱形且, , 分別為的中點(diǎn), , ,

(Ⅰ)證明:直線∥平面;

(Ⅱ)求二面角的余弦值.

【答案】(I)見解析;(II)

【解析】試題分析:(I)取中點(diǎn),可證, 兩兩互相垂直,建立以為原點(diǎn), 分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,得出各點(diǎn)坐標(biāo),可求與平面的法向量,利用兩向量垂直可證結(jié)論;(II)先求出二面角兩半平面的法向量,利用法向量夾角與二面角平面角間關(guān)系可得結(jié)果. 

試題解析:解法一:∵,且為中點(diǎn), ,∴,

, ,∴ , ,

,∴平面,

中點(diǎn),則,即, 兩兩互相垂直,

為原點(diǎn), 分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖(4), ∴ , , , ,

(I) ,設(shè)平面的法向量為

,取,

,∴,

平面, ∴直線∥平面

(II) 設(shè)平面的法向量為,

,取,

又由(Ⅰ)知平面的法向量為,設(shè)二面角

,

∵ 二面角為銳角,∴ 二面角的余弦值為

解法二:取中點(diǎn),則,即,以為原點(diǎn), 分別為軸,

建立空間直角坐標(biāo)系如圖(5),設(shè)點(diǎn),

,

,即,∴ ,

, , 可得:

,解得,

, , ,

下同解法二.

解法三:(Ⅰ)如圖(6),取中點(diǎn),連接,則有

為平行四邊形, ∴

平面, 平面,∴ 直線∥平面

(Ⅱ)由各棱長,易得,∴平面,

中點(diǎn),連接,過,連接,

如圖(8),可證: 平面,

證明平面,可得,

為所求的二面角的平面角,

中,求得: ,故所求的二面角的余弦值為

解法四:

(Ⅰ)如圖(7),取中點(diǎn),由,

平面,∴ 直線∥平面,

平面,

∴ 直線∥平面,

,∴平面∥平面

平面, ∴ 直線∥平面

(Ⅱ)同解法一.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=xln(x+ (a>0)為偶函數(shù).
(1)求a的值;
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【題目】某工廠的污水處理程序如下:原始污水必先經(jīng)過A系統(tǒng)處理,處理后的污水(A級水)達(dá)到環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)(簡稱達(dá)標(biāo))的概率為.經(jīng)化驗(yàn)檢測,若確認(rèn)達(dá)標(biāo)便可直接排放;若不達(dá)標(biāo)則必須進(jìn)行B系統(tǒng)處理后直接排放.

某廠現(xiàn)有個(gè)標(biāo)準(zhǔn)水量的A級水池,分別取樣、檢測. 多個(gè)污水樣本檢測時(shí),既可以逐個(gè)化驗(yàn),也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn).混合樣本中只要有樣本不達(dá)標(biāo),則混合樣本的化驗(yàn)結(jié)果必不達(dá)標(biāo).若混合樣本不達(dá)標(biāo),則該組中各個(gè)樣本必須再逐個(gè)化驗(yàn);若混合樣本達(dá)標(biāo),則原水池的污水直接排放.

現(xiàn)有以下四種方案,

方案一:逐個(gè)化驗(yàn);

方案二:平均分成兩組化驗(yàn);

方案三:三個(gè)樣本混在一起化驗(yàn),剩下的一個(gè)單獨(dú)化驗(yàn);

方案四:混在一起化驗(yàn).

化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小,則方案的越“優(yōu)”.

(Ⅰ) 若,求個(gè)A級水樣本混合化驗(yàn)結(jié)果不達(dá)標(biāo)的概率;

(Ⅱ) 若,現(xiàn)有個(gè)A級水樣本需要化驗(yàn),請問:方案一,二,四中哪個(gè)最“優(yōu)”?

(Ⅲ) 若“方案三”比“方案四”更“優(yōu)”,求的取值范圍.

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【題目】已知f(x)= ,當(dāng)點(diǎn)M(x,y)在y=f(x)的圖象上運(yùn)動時(shí),點(diǎn)N(x﹣2,ny)在函數(shù)y=gn(x)的圖象上運(yùn)動(n∈N*).
(1)求y=gn(x)的表達(dá)式;
(2)若方程g1(x)=g2(x﹣2+a)有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)設(shè) ,函數(shù)F(x)=H1(x)+g1(x)(0<a≤x≤b)的值域?yàn)? ,求實(shí)數(shù)a,b的值.

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