（2012•江蘇二模）選做題
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，自⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的切線PC和割線PBA，點(diǎn)C為切點(diǎn)，割線PBA交⊙O于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O在AB上．作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D．
求證：
PC
PA
=
BD
DC
．
B．選修4-2：矩陣與變換
設(shè)a，b∈R，若矩陣A=
a0
-1b
把直線l：y=2x-4變換為直線l′：y=x-12，求a，b的值．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
求橢圓C：
x2
16
+
y2
9
=1上的點(diǎn)P到直線l：3x+4y+18=0的距離的最小值．
D．選修4-5不等式選講
已知非負(fù)實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2+x+2y+3z=
13
4
，求x+y+z的最大值．
分析：A．利用弦切角定理可以證明∠PCB=∠PAC，又∠BPC=∠CPA，從而有△PCB∽△PAC，得到比例式
PC
PA
=
BC
AC
，①又在直角三角形ABC中，有
BD
DC
=
BC
CA
，②，等量代換得
PC
PA
=
BD
DC
．
B．在直線l取兩點(diǎn)M（2，0），N（0，-4），M，N在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作業(yè)下分別對(duì)應(yīng)于點(diǎn)M'，N'，分別求出點(diǎn)M'，N'的坐標(biāo)，代入直線l′，建立方程組，解之即可．
C．先求出橢圓的參數(shù)方程點(diǎn)P（4cosθ，3sinθ）到直線l的距離d，再由和（差）角公式求出橢圓上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值．
D．利用題中條件可化為：（x+
1
2
）2+（y+1）2+（x+
3
2
）2=
27
4
，根據(jù)柯西不等式可得到[（x+
1
2
）+（y+1）+（x+
3
2
）]2≤3[（x+
1
2
）2+（y+1）2+（x+
3
2
）]=
81
4
，從而求出x+y+z的最小值．
解答：解：A．證明：連接BC、AC，
∵PC作⊙O的切線，切點(diǎn)為C，
∴∠PCB=∠PAC，
又∵∠BPC=∠CPA，
∴△PCB∽△PAC；
∴
PC
PA
=
BC
AC
，①
又在直角三角形ABC中，有
BD
DC
=
BC
CA
，②
由①②得
PC
PA
=
BD
DC
．
B：在直線l取兩點(diǎn)M（2，0），N（0，-4）
M，N在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作業(yè)下分別對(duì)應(yīng)于點(diǎn)M'，N'
因
a0
-1b
2
0
=
2a
-2
，所以M'的坐標(biāo)為（2a，-2）；
a0
-1b
0
-4
=
0
-4b
，所以N'的坐標(biāo)為（0，-4b）；
由題意可知M'，N'在直線l′上，
所以
-2=2a-12
-4b=-12

解得：a=5，b=3．
C：∵設(shè)P（4cosθ，3sinθ）到直線l的距離：
d=
|12cosθ+12sinθ+18|
5
=
12
2
sin(θ+
π
4
)+18
5
≥
-12
2
+18
5

當(dāng)sin（θ+
π
4
）=-1時(shí)，等號(hào)成立，
故d的最小值為
-12
2
+18
5
．
D．條件可化為：（x+
1
2
）2+（y+1）2+（z+
3
2
）2=
27
4

則：[（x+
1
2
）+（y+1）+（z+
3
2
）]2≤3[（x+
1
2
）2+（y+1）2+（z+
3
2
）2]=
81
4

得x+y+z≤
3
2
，當(dāng)且僅當(dāng)：x+
1
2
=y+1=z+
3
2
時(shí)取等號(hào)，
∴x+y+z的最小值為：
3
2
．
點(diǎn)評(píng)：A．本題考查了弦切角定理，切線的性質(zhì)定理，運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．
B．本題主要考查了變換、矩陣的相等、幾種特殊的矩陣變換，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
C．本題以橢圓為載體，考查橢圓的參數(shù)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、和（差）角公式，綜合性強(qiáng)，考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．
D．本題考查用柯西不等式求最值，關(guān)鍵是利用構(gòu)造利用一般形式的柯西不等式．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，給出下列命題：
（1）若α∥β，m?β，n?α，則m∥n；
（2）若α∥β，m⊥β，n∥α，則m⊥n；
（3）若α⊥β，m⊥α，n∥β，則m∥n；
（4）若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n．
上面命題中，所有真命題的序號(hào)為
（2），（4）
（2），（4）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）如圖，已知A、B是函數(shù)y=3sin（2x+θ）的圖象與x軸兩相鄰交點(diǎn)，C是圖象上A，B之間的最低點(diǎn)，則
AB
•
AC
=
π2
8
π2
8
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）如圖，在C城周邊已有兩條公路l1，l2在點(diǎn)O處交匯，現(xiàn)規(guī)劃在公路l1，l2上分別選擇A，B兩處為交匯點(diǎn)（異于點(diǎn)O）直接修建一條公路通過C城，已知OC=(
2
+
6
)km，∠AOB=75°，∠AOC=45°，設(shè)OA=xkm，OB=ykm．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并指出它的定義域；
（2）試確定點(diǎn)A、B的位置，使△OAB的面積最�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）設(shè)實(shí)數(shù)n≤6，若不等式2xm+（2-x）n-8≥0對(duì)任意x∈[-4，2]都成立，則
m4-n4
m3n
的最小值為
-
80
3
-
80
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）已知雙曲線
x2
m
-
y2
3
=1(m＞0)的一條漸近線方程為y=
3
2
x，則m的值為
4
4
．

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