如圖，O是△ABC外任一點(diǎn)，若
OG
=
1
3
(
OA
+
OB
+
OC
)，求證：G是△ABC重心（即三條邊上中線的交點(diǎn)）．
精英家教網(wǎng)
分析：由題意O是△ABC外任一點(diǎn)，由
OG
=
1
3
(
OA
+
OB
+
OC
)，利用向量的減法可以等價(jià)于：
GA
+
GB
+
GC
=
0
，再有等價(jià)條件，利用向量的平行四邊形法則及平面圖形知識(shí)即可求證．
解答：精英家教網(wǎng)證明：由
OG
=
1
3
(
OA
+
OB
+
OC
)?3
OG
=
OA
+
OB
 +
OC
?(
OG
-
OA
)+(
OG
-
OB
)+(
OG
-
OC
)=
0
?
AG
+
BG
+
CG
=
0
?
GA
+
GB
+
GC
=
0
，
由題意畫(huà)出簡(jiǎn)圖為：
由于
GA
+
GB
+
GC
=
0
?
GA
+
GB
=
CG
，
在圖形中，利用平行四邊行法則及兩向量的加法原理可知：
GA
+
GB
就是以GA，GB為兩相鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線GD，
由于四邊形GADB為平行四邊形，所以GD平分AB，即：
GD
=
GA
+
GB
，所以
GD
=
CG
，∴|
GD
|=|
GC|
；
又GD，AB平分，所以點(diǎn)G在三角形ABC的邊AB的中線上，
同理點(diǎn)G應(yīng)該在BC邊的中線上，利用重心的定義可知G是△ABC重心（即三條邊上中線的交點(diǎn)）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形重心的定義，向量的加法，減法及平行四邊行法則．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，且PA=PB．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）已知PA=
3
，BC=1，求⊙O的半徑．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且滿足
sinB+sinC
sinA
=
2-cosB-cosC
cosA
．
（1）證明：b+c=2a；
（2）如圖，點(diǎn)O是△ABC外一點(diǎn)，設(shè)∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，當(dāng)b=c時(shí)，求平面四邊形OACB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，O是△ABC外任一點(diǎn)，若數(shù)學(xué)公式，求證：G是△ABC重心（即三條邊上中線的交點(diǎn)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011年福建省高考60天沖刺訓(xùn)練數(shù)學(xué)試卷09（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，O是△ABC外任一點(diǎn)，若，求證：G是△ABC重心（即三條邊上中線的交點(diǎn)）．

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