Question

（2013•深圳二模）下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（　　）

A．y=2^x

B．y=sinx

C．y=log₂x

D．y=x|x|

Answer 1

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)都是非奇非偶函數(shù)，得到A、C兩項(xiàng)不符合題意；根據(jù)正弦函數(shù)y=sinx在其定義域內(nèi)既有增區(qū)間也有減區(qū)間，得到B項(xiàng)不符合題意；因此只有D項(xiàng)符合，再用函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的定義加以證明，即可得到正確答案．

解答：解：對(duì)于A，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在其定義域上是非奇非偶函數(shù)，
所以函數(shù)y=2^x不符合題意，故A不正確；
對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx在其定義域內(nèi)既有增區(qū)間也有減區(qū)間，
所以函數(shù)y=sinx不符合題意，故B不正確；
對(duì)于C，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
所以函數(shù)y=log₂x是非奇非偶函數(shù)，得C不正確；
對(duì)于D，設(shè)f（x）=x|x|，可得f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x）
所以函數(shù)y=x|x|是奇函數(shù)；
又∵當(dāng)x≥0時(shí)，y=x|x|=x²，在（0，+∞）上是增函數(shù)，
且當(dāng)x＜0時(shí)，y=x|x|=-x²，在（-∞，0）上是增函數(shù)
∴函數(shù)y=x|x|是R上的增函數(shù)
因此，函數(shù)y=x|x|是奇函數(shù)，且在其定義域內(nèi)是函數(shù)，可得D正確
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出幾何基本初等函數(shù)，要我們找出其中單調(diào)增的奇函數(shù)，著重考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其判斷方法的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．