Question

某自來(lái)水廠的蓄水池中有400噸水，每天零點(diǎn)開(kāi)始向居民供水，同時(shí)以每小時(shí)60噸的速度向池中注水，t小時(shí)內(nèi)向居民供水總量為120

6t

(0≤t≤24)．
（1）每天幾點(diǎn)鐘時(shí)，蓄水池中的存水量最少？
（2）如果池中存水量不多于80噸，就會(huì)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象，那么一天中會(huì)有幾小時(shí)出現(xiàn)這種現(xiàn)象？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意先設(shè)t小時(shí)后，蓄水池中的存水量為y噸．寫出蓄水池中的存水量的函數(shù)表達(dá)式，再利用換元法求此函數(shù)的最小值即得；
（2）先由題意得：y≤80時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)供水緊張．由此建立關(guān)于x的不等關(guān)系，最后解此不等式即得一天中會(huì)有多少小時(shí)出現(xiàn)這種供水緊張的現(xiàn)象．

解答：解：（1）設(shè)t小時(shí)后，蓄水池中的存水量為y噸．
則y=400+60t-120

6t

（0≤t≤24）
設(shè)u=

t

，則u∈[0，2

6

]，y=60u²-120

6

u+400=60(u-

6

)2+40
∴當(dāng)u=

6

即t=6時(shí)，y取得最小值40．
∴每天在6點(diǎn)鐘時(shí)，蓄水池中的存水量最少．（5分）
（2）由題意得：y≤80時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)供水緊張．
∴60u²-120

6

u+400≤80
解之得

2 6

3

≤u≤

4 6

3

∴

8

3

≤t≤

32

3

∴△t=

32

3

-

8

3

=8
∴一天中會(huì)有8小時(shí)出現(xiàn)這種供水緊張的現(xiàn)象．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，解決實(shí)際問(wèn)題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問(wèn)題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．屬于基礎(chǔ)題．