已知函數(shù)f(x)=
xlnx
，g（x）=x-mlnx．
（I）求函數(shù)f（x）的定義域和極值；
（II）求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得函數(shù)g（x）在（2，3）上恰好有兩個(gè)不同零點(diǎn)．
分析：（I）利用函數(shù)的性質(zhì)，使f(x)=
x
lnx
的分母不為0，對(duì)數(shù)有意義，利用導(dǎo)數(shù)求其極值．
（II）函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根，轉(zhuǎn)化為f（x）的范圍，確定f（2）、f（3）的大小，確定m的范圍．
也可以在（2，3）內(nèi)g（x）的極小值小于0，2和3的函數(shù)值大于0，求解即可．
解答：解：（I）f（x）的定義域是（0，1）∪（1，+∞），（2分）f′(x)=
lnx-1
ln2x
，f'（x）=0，得x=e，（4分）
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當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)f（x）取極小值f（e）=e，沒有極大值；（6分）
（II）方法1：g（x）=0，即m=
x
lnx
=f(x)，
由于（I）知x∈[2，3]時(shí)，f（x）的最小值是e，（8分）
f(2)=
2
ln2
，f(3)=
3
ln3
，
∵
2
ln2
=
1
ln
68
＞
1
ln
69
=
3
ln3
，
∴f（2）＞f（3），（10分）
∴函數(shù)g（x）在（2，3）上恰好有兩個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(e，
3
ln3
)．（12分）
方法2：當(dāng)m≤0時(shí)，g（x）=x-mlnx在（2，3）上是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)g（x）在（2，3）上不可能有兩個(gè)不同零點(diǎn)（8分）
當(dāng)m＞0時(shí)，g′(x)=
x-m
x
，g（x）在（0，m）上單調(diào)遞減，在（m，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)g（x）在（2，3）上不可能有兩個(gè)不同零點(diǎn)，∴m∈（2，3）（10分）
由
g(m)=m-mlnm＜0
g(2)=2-mln2＞0
g(3)=3-mln3＞0
，
以及
2
ln2
=
1
ln
68
＞
1
ln
69
=
3
ln3
，
得實(shí)數(shù)m的取值范圍是(e，
3
ln3
)．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義域，零點(diǎn)定理的判定，導(dǎo)數(shù)求極值的方法，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實(shí)數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請(qǐng)求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對(duì)任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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