Question

已知{a_n} 是等差數(shù)列，其中a₁=23，a₄=16
（1）求{a_n} 的通項(xiàng)；
（2）求{a_n}前n項(xiàng)和S_n的最大值；
（3）（文科不做）求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由于a₁=23，a₄=16，利用通項(xiàng)公式可得a₄=a₁+3d，即可解得d．
（2）令an=-

7

3

n+

76

3

≥0，解出即可．
（3）令T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．分類討論：當(dāng)n≤10時(shí)，可得T_n=S_n=a₁+a₂+…+a_n．當(dāng)n≥11時(shí)，T_n=S₁₀-a₁₁-a₁₂-…-a_n=2S₁₀-S_n，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁=23，a₄=16，又a₄=a₁+3d，∴16=23+3d，解得d=-

7

3

．
∴an=23+(n-1)×(-

7

3

)=-

7

3

n+

76

3

．
（2）令an=-

7

3

n+

76

3

≥0，解得n≤10．
故數(shù)列{a_n}前10項(xiàng)和最大，最大值S₁₀=10×23+

10×9

2

×(-

7

3

)=125；
（3）令T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．
①當(dāng)n≤10時(shí)，T_n=S_n=a₁+a₂+…+a_n=

n(23+ 76 3 - 7n 3 )

2

=-

7

6

n2+

145

6

．
②當(dāng)n≥11時(shí)，T_n=S₁₀-a₁₁-a₁₂-…-a_n
=2S₁₀-S_n
=2×(-

7

6

×102+

145

6

)-

7

6

n2+

145

6

．
=-

7

6

n2-

965

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式、含絕對(duì)值的數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．