(2012•德陽(yáng)二模)已知
a
=(cos
x
2
3
sin
x
2
),
b
=(sin
x
2
,-sin
x
2
),f(x)=
a
b
+
3
2

(1)求f(x)的遞增區(qū)間;
(2)在△ABC中,f(A)=1,AB=2,BC=3.求△ABC的面積.
分析:(1)由兩向量的坐標(biāo),利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出f(x)解析式,利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù),由正弦函數(shù)的增區(qū)間列出關(guān)于x的不等式,求出不等式的解集即可得到f(x)的增區(qū)間;
(2)由f(A)=1及第一問(wèn)確定的f(x)解析式,A為三角形的內(nèi)角,得到A的度數(shù),再由AB,BC及cosA的值,利用余弦定理求出AC的長(zhǎng),再由AC,AB及sinA的值,利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積.
解答:解:(1)∵
a
=(cos
x
2
,
3
sin
x
2
),
b
=(sin
x
2
,-sin
x
2
),
∴f(x)=
a
b
+
3
2
=cos
x
2
sin
x
2
-
3
sin2
x
2
+
3
2

=
1
2
sinx-
3
2
(1-cosx)+
3
2
=
1
2
sinx+
3
2
cosx=sin(x+
π
3
),
令2kπ-
π
2
≤x+
π
3
≤2kπ+
π
2
,k∈Z,解得:2kπ-
6
≤x≤2kπ+
π
6
,k∈Z,
則f(x)的增區(qū)間為[2kπ-
6
,2kπ+
π
6
],k∈Z;
(2)由f(A)=sin(A+
π
3
)=1,且A為三角形的內(nèi)角,得到A=
π
6

∵AB=2,BC=3,cosA=
3
2
,
∴由余弦定理BC2=AC2+AB2-2AC•AB•cosA得:9=AC2+4-2
3
AC,
整理得:AC2-2
3
AC-5=0,
解得:AC=
3
+2
2
或AC=
3
-2
2
(舍去),
則S△ABC=
1
2
AC•AB•sinA=
1
2
×(
3
+2
2
)×2×
1
2
=
3
2
+
2
點(diǎn)評(píng):此題屬于解三角形的題型,涉及的知識(shí)有:二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式,平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,正弦函數(shù)的單調(diào)性,余弦定理,以及三角形的面積公式,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.
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3
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3
-i
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