Question

已知m，n，l是互不重合的直線，α，β是互不重合的平面，有下列命題：
①若直線l上有兩個不同的點到平面α的距離相等，則l∥α；
②設(shè)m，n是兩條異面直線，若m?α，n∥α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α；
③若m⊥α，m⊥n，則n∥α；
④若m，n是兩條異面直線，且m，n都平行于平面α和平面β，則α和β相互平行；
⑤若在平面α內(nèi)有不共線的四點到平面β的距離相等，則α∥β；
其中所有真命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)點到平面距離的性質(zhì)結(jié)合舉反例加以說明，可得①⑤都不正確；根據(jù)線面平行的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定定理，可證出②是真命題；根據(jù)垂直于同一直線的平面與直線的位置關(guān)系，得到③不正確；根據(jù)面面平行的判定與性質(zhì)，可證出④是真命題．由此即可得到本題的答案．

解答：解：對于①，若線段AB的中點O在平面α內(nèi)時，點A、B到平面α的距離相等．
但此時直線AB與平面α相交，不能得到l∥α，故①不正確；
對于②，因為n∥α，所以經(jīng)過n的平面β與α相交，設(shè)交線為k，則可得n∥k，
由l⊥n得l⊥k，結(jié)合l⊥m且m、k是平面α內(nèi)的相交直線，可得l⊥α，故②是真命題；
對于③，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α．不一定得到n∥α，故③不正確；
對于④，因為m、n是兩條異面直線，所以經(jīng)過平面α、β外的一點O，
經(jīng)過O引直線l∥m，k∥n，設(shè)l、k確定的平面為γ，
因為m、n都平行于平面α，所以平面γ內(nèi)一組相交直線l、k都與α平行，可得γ∥α．
同理可得γ∥β，因此α∥β成立，故④是真命題；
對于⑤，設(shè)平行四邊形ABCD所在的平面為α，
若平行四邊形ABCD中，E、F分別為對邊AB、CD的中點，當點E、F位于平面β內(nèi)時，
可得平面α內(nèi)A、B、C、D到平面β的距離相等，且A、B、C、D四點不共面
此時平面α、β是相交平面，不滿足α∥β．故⑤不正確
綜上所述，正確命題的序號為②④
故答案為：②④

點評：本題給出關(guān)于空間位置關(guān)系的幾個命題，求其中的真命題．著重考查了空間線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)，以及面面平行和面面垂直的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．