Question

10．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₆=S₃+14，a₆=10-a₄，a₄＞a₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}中，b_n=log₂ a_n，求數(shù)列{a_n•b_n }的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)遞推公式，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法，即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n

解答 解：（Ⅰ）由已知a₄+a₅+a₆=14，∴a₅=4，
又?jǐn)?shù)列{a_n}成等比，設(shè)公比q，則$\frac{4}{q}$+4q=10，
∴q=2或$\frac{1}{2}$（與a₄＞a₃矛盾，舍棄），
∴q=2，a_n=4×2^n-5=2^n-3；
（Ⅱ）b_n=n-3，∴a_n•b_n=（n-3）×2^n-3，
T_n=-2×2^-2-1×2^-1+0+…+（n-3）×2^n-3，
2T_n=-2×2^-1-1×2⁰+0+…+（n-3）×2^n-2，
相減得T_n=2×2^-2-（2^-1+2⁰+…+2^n-3）+（n-3）×2^n-2=$\frac{1}{2}$-（2^n-2-$\frac{1}{2}$）+（n-3）×2^n-2
=（n-4）×2^n-2+1，

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)列求通項(xiàng)的方法，正確運(yùn)用錯(cuò)位相減法，屬于中檔題．