Question

【題目】定義在上的函數(shù)，如果對(duì)任意的，都有成立，則稱為階伸縮函數(shù).

（）若函數(shù)為二階伸縮函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， ，求的值.

（）若為三階伸縮函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， ，求證：函數(shù)在上無零點(diǎn).

（）若函數(shù)為階伸縮函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， 的取值范圍是，求在上的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)1；(2)證明見解析；(3) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）當(dāng)x∈（1，2]時(shí)， ，從而f（）=，由此能求出函數(shù)f（x）為二階伸縮函數(shù)，由此能求出的值．

（Ⅱ）當(dāng)x∈（1，3]時(shí)， ，由此推導(dǎo)出函數(shù)在（1，+∞）上無零點(diǎn)．

（Ⅲ）當(dāng)x∈（kn，kn+1]時(shí)， ，由此得到，當(dāng)x∈（kn，kn+1]時(shí)，f（x）∈[0，kn），由此能求出f（x）在（0，kn+1]（n∈N*）上的取值范圍是[0，kn）．

試題解析：

（Ⅰ）由題設(shè)，當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，，

∴．

∵函數(shù)f（x）為二階伸縮函數(shù)，

∴對(duì)任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．

∴．

（Ⅱ）當(dāng)x∈（3m，3m+1]（m∈N*）時(shí)，．

由f（x）為三階伸縮函數(shù)，有f（3x）=3f（x）

∵x∈（1，3]時(shí)，．

∴．

令，解得x=0或x=3m，它們均不在（3m，3m+1]內(nèi)．

∴函數(shù)在（1，+∞）上無零點(diǎn)．

（Ⅲ） 由題設(shè)，若函數(shù)f（x）為k階伸縮函數(shù)，有f（kx）=kf（x），

且當(dāng)x∈（1，k]時(shí)，f（x）的取值范圍是[0，1）．

∴當(dāng)x∈（kn，kn+1]時(shí)，．

∵，所以．

∴當(dāng)x∈（kn，kn+1]時(shí)，f（x）∈[0，kn）．

當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，即0＜x≤1，

則k（k≥2，k∈N*）使，

∴1＜kx≤k，即kx∈（1，k]，∴f（kx）∈[0，1）．

又，∴，即．

∵k≥2，

∴f（x）在（0，kn+1]（n∈N*）上的取值范圍是[0，kn）．