設數(shù)列{an}滿足an+1=an2-nan+1,n=1,2,3,…,

(1)當a1=2時,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一個通項公式;

(2)當a1≥3時,證明對所有的n≥1,有

①an≥n+2;

.

(1)解析:由a1=2,得a2=a12-a1+1=3.由a2=3,得a3=a22-2a2+1=4.由a3=4,得a4=a32-3a3+1=5.由此猜想an的一個通項公式:an=n+1(n≥1).

(2)證明:①用數(shù)學歸納法證明:①當n=1,a1≥3=1+2,不等式成立.②假設當n=k時不等式成立,即ak≥k+2,那么ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3,也就是說,當n=k+1時,ak+1≥(k+1)+2.根據(jù)①和②,對于所有n≥1,有an≥n+2.

②由an+1=an(an-n)+1及①,對k≥2,有ak=ak-1(ak-1-k+1)+1≥ak-1(k-1+2-k+1)+1=2ak-1+1,…

∴ak≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2k-1(a1+1)-1.于是,k≥2.

.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設數(shù)列{an}滿足a1=1,且對任意的n∈N*,點Pn(n,an)都有
.
PnPn+1
=(1,2)
,則數(shù)列{an}的通項公式為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•日照一模)若數(shù)列{bn}:對于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常數(shù)),則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準等差數(shù)列.如:若cn=
4n-1,當n為奇數(shù)時
4n+9,當n為偶數(shù)時.
則{cn}
是公差為8的準等差數(shù)列.
(I)設數(shù)列{an}滿足:a1=a,對于n∈N*,都有an+an+1=2n.求證:{an}為準等差數(shù)列,并求其通項公式:
(Ⅱ)設(I)中的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,試研究:是否存在實數(shù)a,使得數(shù)列Sn有連續(xù)的兩項都等于50.若存在,請求出a的值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•日照一模)若數(shù)列{bn}:對于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常數(shù)),則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準等差數(shù)列.如數(shù)列cn:若cn=
4n-1,當n為奇數(shù)時
4n+9,當n為偶數(shù)時
,則數(shù)列{cn}是公差為8的準等差數(shù)列.設數(shù)列{an}滿足:a1=a,對于n∈N*,都有an+an+1=2n.
(Ⅰ)求證:{an}為準等差數(shù)列;
(Ⅱ)求證:{an}的通項公式及前20項和S20

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設數(shù)列{an}滿足a1=1,a2+a4=6,且對任意n∈N*,函數(shù)f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1?cosx-an+2sinx滿足f′(
π
2
)=0
cn=an+
1
2an
,則數(shù)列{cn}的前n項和Sn為( 。
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設數(shù)列{an}滿足:a1=2,an+1=1-
1
an
,令An=a1a2an,則A2013
=(  )

查看答案和解析>>

同步練習冊答案