Question

對于定義域和值域均為[0，1]的函數(shù)f（x），定義f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n=1，2，3，…．滿足f_n（x）=x的點(diǎn)x∈[0，1]稱為f的n階周期點(diǎn)．設(shè)f(x)=

2x， 0≤x≤ 1 2 2-2x， 1 2 ＜x≤1

，則f的3階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、4
• B、6
• C、8
• D、10

Answer 1

分析：根據(jù)已知條件和遞推關(guān)系求出f的1階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)與2階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)，然后歸納其得出結(jié)論：f的n階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2ⁿ，從而可得本題的答案．

解答：解：當(dāng)x∈[0，

1

2

]時(shí)，f₁（x）=2x=x，解得x=0；
當(dāng)x∈（

1

2

，1]時(shí)，f₁（x）=2-2x=x，解得x=

2

3

∴f的1階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2=2¹個(gè)．
當(dāng)x∈[0，

1

4

]時(shí)，f₁（x）=2x，f₂（x）=4x=x解得x=0；
當(dāng)x∈（

1

4

，

1

2

]時(shí)，f₁（x）=2x，f₂（x）=2-4x=x解得x=

2

5

當(dāng)x∈（

1

2

，

3

4

]時(shí)，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=-2+4x=x解得x=

2

3

當(dāng)x∈（

3

4

，1]時(shí)，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=4-4x=x解得x=

4

5

，
由此可得：f的2階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4=2²個(gè)，
依此規(guī)律進(jìn)行類推，可得f的n階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2ⁿ，
∴f的3階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2³=8．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出分段函數(shù)，求函數(shù)的3階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)．著重考查了分段函數(shù)的定義、周期的含義與歸納推理等知識(shí)，屬于中檔題．