【題目】如圖,直四棱柱的所有棱長均為2, 為中點.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)若,求平面與平面所成銳二面角的大小.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)45°.
【解析】試題分析:
(Ⅰ)連結(jié)交于,取中點,連結(jié).由題意可得是平行四邊形,故.利用中位線的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形.則,結(jié)合線面平行的判斷定理可得平面.
(Ⅱ)以為原點,建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合點的坐標(biāo)可求得平面的法向量,顯然平面的一個法向量,據(jù)此計算可得平面與平面所成銳二面角的大小為45°.
試題解析:
(Ⅰ)連結(jié)交于,取中點,連結(jié).
因為,所以是平行四邊形,故.
又是的中位線,故,所以,
所以四邊形為平行四邊形.
所以,所以,
又平面, 平面,
所以平面.
(Ⅱ)以為原點,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,
則, , , , ,
設(shè)平面的法向量,
則,即,
解得,
令,得,
顯然平面的一個法向量,
所以,
所以平面與平面所成銳二面角的大小為45°.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)動點到兩定點, 的距離的比值為的軌跡為曲線.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)若直線過點,且點到直線的距離為,求直線的方程,并判斷直線與曲線的位置關(guān)系.
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【題目】甲、乙兩人相約于下午1:00~2:00之間到某車站乘公共汽車外出,他們到達車站的時間是隨機的.設(shè)在下午1:00~2:00之間該車站有四班公共汽車開出,開車時間分別是1:15,1:30,1:45,2:00.求他們在下述情況下乘同一班車的概率:
(1)約定見車就乘;
(2)約定最多等一班車.
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【題目】已知函數(shù)f(x)滿足f(﹣x)=f(x),f(x+8)=f(x),且當(dāng)x∈(0,4]時f(x)= ,關(guān)于x的不等式f2(x)+af(x)>0在[﹣2016,2016]上有且只有2016個整數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣ ln6,ln2]
B.(﹣ln2,﹣ ln6)
C.(﹣ln2,﹣ ln6]
D.(﹣ ln6,ln2)
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【題目】已知橢圓 的右準(zhǔn)線方程為,又離心率為,橢圓的左頂點為,上頂點為,點為橢圓上異于任意一點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與軸交于點,直線與軸交于點,求證: 為定值.
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【題目】已知數(shù)列的前項和為,且 ,在數(shù)列中,,點在直線上.
(1)求數(shù)列,的通項公式;
(2)記,求.
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【題目】已知為圓上的動點, 的坐標(biāo)為, 在線段的中點.
(Ⅰ)求的軌跡的方程.
(Ⅱ)過點的直線與交于兩點,且,求直線的方程.
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【題目】如圖,在三棱錐中, 兩兩垂直且相等,過的中點作平面∥,且分別交PB,PC于M、N,交的延長線于.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
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【題目】已知復(fù)數(shù)z=,(m∈R,i是虛數(shù)單位).
(1)若z是純虛數(shù),求m的值;
(2)設(shè)是z的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)+2z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限,求m的取值范圍.
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