Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（-1）^k•2lnx（k∈N^*）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a1=1，f′(an)=

a 2 n+1 -3

an

．
①求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
②若bn=

2n

a 2 n • a 2 n+1

，記S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求證：S_n＜1．
（3）當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)b，使得方程f(x)=

3

2

x2+x+b在區(qū)間（0，2]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根？若存在，求出b的范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，討論當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)兩種情形，然后利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系求出單調(diào)性．
（2）①由已知得2an-

2

an

=

a 2 n+1 -3

an

，得到2(

a

2 n

+1)=

a

2 n+1

+1，從而{

a

2 n

+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
②由bn=

2n

a 2 n • a 2 n+1

，可得bn=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，下面利用拆項(xiàng)法求S_n并化簡(jiǎn)，從而得出證明．
（3）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在實(shí)數(shù)b，使方程使f(x)=

3

2

x2+x+b在區(qū)間（0，2]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根．再利用其等價(jià)于方程2lnx-

1

2

x2-x-b=0在區(qū)間（0，2]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根．求出b的范圍，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）由已知得x＞0，且f′(x)=2x-(-1)k•

2

x

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，則f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，則f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

2

，
所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．故當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，f（x）在（0，1）是減函數(shù)，在（1，+∞）是增函數(shù)；…（5分）
（2）①由已知得2an-

2

an

=

a 2 n+1 -3

an

，即2(

a

2 n

+1)=

a

2 n+1

+1，而

a

2 1

+1=2≠0
所以{

a

2 n

+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故

a

2 n

+1=2•2n-1=2n，而{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，從而可得an=

2n-1

．                           …（7分）
②由bn=

2n

a 2 n • a 2 n+1

，可得bn=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

所以Sn=b1+b2+b3+…+bn=

1

21-1

-

1

22-1

+

1

22-1

-

1

23-1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

＜1…（10分）
（3）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，f（x）=x²+2lnx，假設(shè)存在實(shí)數(shù)b，使方程使f(x)=

3

2

x2+x+b在區(qū)間（0，2]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根．等價(jià)于方程2lnx-

1

2

x2-x-b=0在區(qū)間（0，2]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根．令h(x)=2lnx-

1

2

x2-x-b，
則h′(x)=

2

x

-x-1=

-x2-x+2

x

=

-(x+2)(x-1)

x

，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h'（x）＞0，當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，h'（x）＜0
所以h（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，2]上是減函數(shù)
所以要使方程2lnx-

1

2

x2-x-b=0在區(qū)間（0，2]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，等價(jià)于

h(1)=- 3 2 -b＞0 h(2)=2ln2-4-b≤0

⇒2ln2-4≤b＜-

3

2

故存在實(shí)數(shù)b，當(dāng)b∈[2ln2-4，-

3

2

)時(shí)，方程f(x)=

3

2

x2+x+b在區(qū)間（0，2]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根．                                           …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性：導(dǎo)函數(shù)為正函數(shù)遞增；導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，函數(shù)遞減，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題．